Физка. Задачи и упражнения / Касаткина И.Л. Решебник по физике
.pdf
Решебник по физике
массы груз может быть поднят большим поршнем, если к длинному плечу рычага приложена сила F = 0,01 кH? Площади поршней S1 = 10 см2, S2 = 500 см2, КПД пресса
η = 0,75.
Ответ: m = ηF l1 S2 = 38 кг. g l2 S1
Задача 176. В сообщающиеся сосуды разного сечения налита ртуть так, что ее уровень располагается на расстоянииLоткраясосуда.Затемвширокийсосудналилидокрая воду. На какую высоту поднялся при этом уровень ртути в узком сосуде? Сечение широкого сосуда в N раз больше, чем узкого, плотности ртути ρ1 и воды ρ2 известны.
Ответ: h = |
|
ρ2LN |
|
. |
ρ |
(N +1) |
−ρ |
||
1 |
|
2 |
|
|
Задача177.Вес однородного тела в воде в n раз меньше, чем в воздухе. Найти плотность тела ρ1. Плотность воды ρ2 известна, выталкивающей силой в воздухе пренебречь.
Ответ: ρ1 = ρ2 nn−1 .
Задача178.Тело, привязанное к нити, уравновесили на весах. Затем его на 0,3 объема погрузили в масло. При этом равновесие нарушилось, и для его восстановления пришлось снять с чашки весов гирьку, масса которой составила шестую часть массы тела. Найти плотность ρ1 тела. Плотность масла ρ2 = 900 кг/м3.
Ответ: ρ1 =1,8ρ2 =1,6 103 кг/м3.
Задача 179. Объем надводной части плавающего айсберга V1 = 100 м3. Найти объем всего айсберга. Плотность воды ρв = 1 · 103 кг/м3, плотность льда ρл = 0,9 · 103 кг/м3.
Ответ: V1 = 1000 м3.
Задача 180. Полый медный шар плавает в воде, наполовину погрузившись в нее. Найти массу меди в нем, если объ-
170
1. Механика
ем полости Vпол = 15 см3. Плотность меди ρм = 8,9 · 103 кг/м3, плотность воды ρв = 1 · 103 кг/м3.
Ответ: Vпол = 2m − m = 7,9 кг.
ρB ρM
Задача 181. Плавающий куб погружен в ртуть на четверть своего объема. Какая часть объема куба будет погружена в ртуть, если поверх нее налить слой воды, полностью покрывающий куб? Плотность воды ρв = 1 · 103 кг/м3, плотность ртути ρрт = 13,6 · 103 кг/м3.
Ответ: |
V2 |
= |
ρрт – 4 ρв |
= 0,2. |
|
V |
4(ρрт – ρв) |
||||
|
|
|
Задача 182. Кусок стекла падает в масле с ускорением а = 6,5 м/с2. Чему равна плотность стекла ρс? Плотность масла ρм = 900 кг/м3. Сопротивлением движению стекла пренебречь.
Ответ: ρc = gρM−ga = 2,7 103 кг/м3.
Задача 183. Кусок стекла массой m = 1 кг падает в воде с постоянной скоростью. Найти силу сопротивления воды падению стекла. Плотность стекла ρс = 2,7 103 кг/м3, плотность воды ρв = 1 103 кг/м3.
|
1 |
− |
ρB |
|
= 6,2 Н. |
Ответ: Fсопр = mg |
|
|
|||
|
|
|
ρc |
|
|
Задача 184. Аэростат массой m = 500 кг и объемом V = = 600 м3 начинает подниматься вертикально вверх. Определить, на какой высоте он окажется через t = 1 с. Считать плотность воздуха ρ = 1,3 кг/м3 постоянной, пренебрегая ее изменением с высотой. Сопротивление движению аэростата Fc = 10 H.
Ответ: h = 2tm2 (g(ρV −m) −Fc ) = 273 м.
Задача 185. Воздушный шар объемом V опускается с ускорением. Масса шара, включая оболочку, газ и корзинку с балластом, равна m. Какую массу ∆m балласта надо
171
Решебник по физике
сбросить, чтобы этот шар стал подниматься с прежним ускорением? Найти подъемную силу Fпод при этом. Сопротив-
ление воздуха Fсопр известно.
2mg(ρV −m)
∆m = Fco?пp + g(ρV −2m) .
Задача186.Вес тела в масле Р1, а в воде Р2 . Найти плот- |
||||
ность вещества тела ρ1. Плотность воды ρ2, плотность масла |
||||
ρ3 известны. |
P2ρ3 |
−P1ρ2 |
|
|
Ответ: ρ = |
. |
|||
|
|
|||
1 |
P2 |
−P1 |
||
|
||||
Задача187.Найтинаименьшуюплощадьплоскойльдины, способной удержать человека массой m = 80 кг. Толщина льдины h = 80 см, плотность воды ρв взять из предыдущих задач, плотность льда ρл = 0,6 103 кг/м3.
Ответ: |
|
m |
|
|
|
5 . |
||
|
|
|
|
|
||||
S = h(ρ |
−ρ |
) = 2,5 |
||||||
|
|
10 |
||||||
|
|
в2 |
л; |
|
|
|
|
|
Задача188.Камень массой m = 200 г падает в жидкости с постоянной скоростью. Найти силу сопротивления движению камня в ней, если плотность воды ρв = 1 103 кг/м3, плотность камня ρк = 2,6 103 кг/м3.
Ответ: F = mg 1− ρв2 =1,2 H. c ρ
к:
Задача 189. Шарик, сделанный из материала, плотность которого в n раз меньше плотности воды, падает в нее с высоты H. На какую глубину h он погрузится?
Ответ: h = nH−1.
172
Раздел 2. Молекулярная физика и термодинамика
Краткая теория и советы к решению задач
При решении задач молекулярной физики часто используются формулы плотности вещества и концентрации молекул.
Плотность вещества ρ — это отношение его массы m
к объему V:
ρ= mV .
Плотность твердых и жидких веществ при 0 °С дана в справочных материалах. Плотность газов зависит от давления и температуры.
Концентрация молекул n — это отношение всего числа молекул N в объеме V к этому объему:
n = NV .
Количество вещества, в котором содержится столько же атомов, сколько их имеется в 12 г углерода, называется молем. Итальянский ученый Авогадро подсчитал, что в одном моле любого вещества содержится 6,02 · 1023 молекул. Это число называется числом Авогадро.
Масса одного моля вещества называется его молярной массой М. Молярная масса вещества может быть определена с помощью таблицы Менделеева, т.к. численно равна его относительной молекулярной массе. Например, относительная атомная масса кислорода 16, но кислород — двухатомный газ, поэтому его относительная молекулярная
173
Решебник по физике
масса равна 32. С учетом этого молярная масса кислорода равна 32 г/моль, или в СИ — 0,032 кг/моль.
Количество вещества ν (количество молей) равно отношению массы вещества m к молярной массе М:
ν = Mm .
Массу одной молекулы mo можно определить разными способами. Можно, например, разделить массу всего вещества m на число молекул в нем N:
mo = mN.
Можно найти массу одной молекулы, разделив плотность вещества на концентрацию молекул в нем:
mo = nρ.
Масса одной молекулы также равна отношению молярной массы М к числу Авогадро NA:
mo = M . NA
Число молекул N можно определить, умножив количество вещества, т.е. число молей ν, на число молекул в одном моле, т.е. на число Авогадро:
N = ν NA.
В молекулярной физике основным объектом является идеальный газ, молекулы которого представляют собой материальные точки, не взаимодействующие на расстоянии. Газ при низком давлении и высокой температуре близок к идеальному. Воздух при нормальных условиях (давлении 105 Па и температуре 0 °С) можносчитать идеальным газом.
Основным уравнением кинетической теории идеального газа является уравнение, устанавливающее связь давления газа р с массой молекулы этого газа, концентрацией молекул и квадратом их средней квадратичной скорости:
174
12
р= 3monv .
2
Поскольку mov = E — средняя кинетическая энергия
2
молекул, то основное уравнение кинетической теории идеального газа можно записать еще и так:
р = 23nE .
Абсолютная температура газа Т есть мера средней кинетической энергии теплового движения его молекул. Эту связь выражает формула
E = 32kT.
Здесь k = 1,38 · 10–23 Дж/К — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура газа.
Абсолютная температура Т связана с температурой по шкале Цельсия t соотношением
Т = t + 273.
Изменение температуры по обеим шкалам одинаково:
∆Т = ∆t.
Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа определяется формулами
|
|
= |
3kT |
, |
|
= |
3RT |
. |
|
v |
v |
||||||||
|
m |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
M |
|||
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
Связь давления идеального газа с концентрацией его молекул и абсолютной температурой устанавливает формула
р = knT.
Макропараметрами состояния идеального газа являются его давление р, объем V и абсолютная температура Т. Связь между ними устанавливает уравнение состояния идеального газа или уравнение Менделеева-Клапейрона:
pV = Mm RT.
175
Решебник по физике
Здесь R = 8,31 Дж/(моль · К) — молярная (универсальная) газовая постоянная. Она связана с постоянной Больцмана и числом Авогадро соотношением
k = R . NA
Если при неизменной массе идеального газа меняются все три его параметра, то соотношение между ними для двух состояний газа устанавливает уравнение Клапейрона или объединенный газовый закон:
p1V1 = p2V2 .
T1 T2
Процесс,происходящийвнеизменноймассегазаприпостоянной температуре, называется изотермическим процессом. Соотношение между его параметрами для двух состояний идеального газа устанавливает закон Бойля-Мариотта:
при Т = const p1V1 = p2V2.
Графики изотермического процесса в разных координатных осях изображены на рис. 72.
Рис. 72
Процесс, происходящий в газе данной массы при неизменном давлении, называется изобарным (или изобарическим). Соотношение между параметрами для двух состояний идеального газа при изобарном процессе устанавливает закон Гей-Люссака:
176
2. Молекулярная физика и термодинамика
при р = const |
V1 |
= |
T1 |
. |
V |
|
|||
|
|
T |
||
|
2 |
|
2 |
|
Графики изобарного процесса в разных координатных осях изображены на рис. 73.
Рис. 73
Процесс, происходящий в газе данной массы при неизменном объеме, называется изохорным (изохорическим). Соотношение между параметрами для двух состояний идеального газа при неизменном объеме устанавливает закон Шарля:
при V = const |
p1 |
= |
T1 |
|
|
|
. |
||
p |
T |
|||
|
2 |
2 |
|
|
Графики изохорного процесса в разных координатных осях изображены на рис. 74.
Рис. 74
Есливсосуденаходитсянесколькогазов,тообъемкаждогоизнихравенобъемусосуда,аобщеедавлениеравносумме давлений каждого газа в отдельности (закон Дальтона).
177
|
Решебник по физике |
|
|
Работа А при изобарном из- |
|
|
менении объема газа равна |
|
|
произведению давления газа р |
|
|
на изменение его объема ∆V: |
|
|
А = р∆V = р(V2 – V1). |
|
|
Графически в координат- |
|
|
ныхосяхp–V(рис.75)работаА |
|
Рис. 75 |
изобарногорасширениягазаот |
|
объема V1 до объема V2 равна |
||
|
||
площадипрямоугольника,однойсторонойкоторогослужит |
||
отрезокab,численноравныйдавлениюгазаp,адругой—от- |
||
резок bc, численно равный изменению объема газа V2 – V1. |
||
При расширении газа силы давления совершают поло- |
||
жительную работу, увеличивая объем газа. При сжатии |
||
газа внешние силы совершают отрицательную работу, пос- |
||
кольку изменение объема газа в этом случае меньше нуля, |
||
ведь при сжатии конечный объем V2 меньше начального |
||
объема V1. |
|
|
Если газ содержится в закрытом сосуде, т. е. его объем |
||
постоянный, то процесс, происходящий с ним, изохорный. |
||
При этом изменение объема газа равно нулю и, значит, |
||
работа изменения его объема тоже равна нулю: |
||
при V = const A = 0
Таким образом, при изохорном процессе газ работы не совершает.
В термодинамике любую группу тел или частиц называют термодинамической системой. Если термодинамической системе извне передается некоторое количество теплоты Q , то оно расходуется на изменение внутренней энергии системы ∆U и на совершение системой работы против внешних сил А:
Q = ∆U + A.
Полученное выражение получило название первого закона термодинамики (первого начала термодинамики).
Еслисистемаполучаетизвнеколичествотеплоты,товэтой формулепередQставитсяплюс,еслиотдаетегововнешнюю
178
2. Молекулярная физика и термодинамика
среду, то — минус. Если температура системы повышается, т.е.еевнутренняяэнергияувеличивается,товэтойформуле перед∆Uставитсяплюс,еслионауменьшается,то—минус. Если система расширяется, совершая работу против внешних сил, то в этой формуле перед А ставится плюс, если внешние силы сжимают систему, то — минус.
Применение первого закона термодинамики к изотер-
мическим процессам: |
|
|
|
к изотермическому: при Т = const ∆U = 0 |
и |
Q = A |
|
к изохорному: при V = const |
A = 0 |
и |
Q = ∆U |
к изобарному: при р = const |
Q = ∆U + A. |
|
|
Здесь Т — абсолютная температура, ∆U — изменение внутренней энергии, Q — количество теплоты, А — работа, V — объем, р — давление.
Пусть газ находится в сосуде с теплоизолированными стенками, через которые тепло не может проникать ни наружу, ни внутрь. Но эти стенки могут растягиваться, т. е. объем газа, как и его давление, и температура, могут изменяться. При этих условиях процесс, протекающий в газе, является адиабатным.
Адиабатнымназываетсяпроцесс,протекающийвтермодинамической системе без теплообмена с внешней средой.
Поскольку при адиабатном процессе термодинамическая система не получает и не отдает тепло, то количество теплоты в формуле первого закона термодинамики равно нулю, поэтому применительно к адиабатному процессу первый закон термодинамики примет вид:
при Q = 0 ∆U = –А.
Применение первого закона термодинамики к адиабатному процессу: при адиабатном процессе изменение внутренней энергии термодинамической системы равно работе системы, взятой со знаком «минус».
При адиабатном процессе работа термодинамической системы против внешних сил может совершаться только за счет запаса внутренней энергии самой системы, поэтому при совершении работы внутренняя энергия системы уменьшается и ее температура понижается. И наоборот,
179