Физка. Задачи и упражнения / Касаткина И.Л. Решебник по физике
.pdf
|
|
Решебник по физике |
|
|
|
Дано: |
|
Решение |
|
||
k1 = 10 Н/м |
|
Чтобы легче справиться с этой за- |
k2 = 30 Н/м |
|
дачей, сделаем несложный рисунок |
m = 3 кг |
|
(рис. 44). Нарисуем две вертикальные |
l = 2 м |
|
пружины одинаковой длины. Пусть |
х = 20 см |
|
слева будет пружина с меньшей жест- |
g = 10 м/с2 |
|
костью, а справа — с большей. К пру- |
|
|
жинамснизуприкрепленгоризонталь- |
l1 — ? |
|
|
|
ный стержень, к центру С которого |
|
|
|
приложена сила тяжести mg, и подвешен груз на расстоянии l1 от левого конца.
Когда груза не было, левый конец стержня под действием его веса и с более слабой силой упругости в левой пружине отвис, а правый приподнялся, т.к. там пружина более жесткая. Поэтому, чтобы стержень принял горизонтальное положение, надо ближе к его правому концу подвесить груз. Равновесие наступит, когда сумма моментов, вращающих стержень вокруг точки подвеса груза О по часовой стрелке, будет равна сумме моментов сил, вращающих его вокруг этой же точки против часовой стрелки. Против часовой стрелки вращают стержень вокруг точки О сила тяжести и сила F2, равная по модулю силе упругости, возникающей в правой пружине при ее деформации. А по часовой стрелке вращает стержень сила F1, тоже равная силе упругости в левой пружине. Согласно правилу моментов сил момент М силы тяжести mg плюс момент М2 силы F2
равен моменту М1 силы F1: |
|
М + М2 = М1. |
(1) |
Момент силы равен произведению этой силы и ее плеча. Плечом силы тяжести mg является расстояние от точки ее приложения к стержню С до точки О, т.е. длина отрезка
− 2l , поэтому
(2)
1. Механика
Момент силы F2, которая, согласно закону Гука, равна по модулю k2x, где х — одинаковое удлинение обеих пружин (ведь стержень остался горизонтальным), равен произведению этой силы и ее плеча. А плечом силы F2 является отрезок Оb, равный l — l1. Поэтому момент силы F2
M2 = F2 (l−l1) = k2x(l−l1). |
(3) |
Момент силы F1, которая по модулю равна k1x, равен произведению этой силы и ее плеча. А плечом силы F1 является отрезок аО = l1. Поэтому момент силы F1
M1 = F1l1 = k1xl1. |
(4) |
Подставим правые части равенств (2), (3) и (4) в правило моментов (1), после чего, раскрыв скобки, найдем искомое расстояние l1:
|
|
− |
l |
+k x(l−l ) = k xl . |
|||
mg l |
|
|
|||||
|
|||||||
|
1 |
|
2 |
2 |
1 |
1 1 |
|
Раскрываем скобки и находим l1:
mgl1 −mg 2l +k2xl−k2xl1 = k1xl1, mgl1 −xl1 (k1 +k2 ) = mg 2l −k2xl,
|
l1 = |
l(mg −2k2x) |
||
откуда |
|
|
. |
|
2(mg −x(k |
+k )) |
|||
|
|
1 |
2 |
|
Задача в общем виде решена. Произведем вычисления. 20 см = 0,2 м.
2(3 10−2 30 0,2)
l1 = 2(3 10−0,2(10+30)) м = 0,8 м.
Ответ: l1 = 0,8 м.
Задача 72. Шар, на треть объема погруженный в воду, лежит на дне сосуда и давит на дно с силой, равной половине веса шара. Плотность воды 1000 кг/м3. Найти плотность шара. Ответ округлить с точностью до целого числа.
121
Решебник по физике
Обозначим ρв плотность воды, ρш — плотность шара, V —
его объем, Р — его вес, m — массу шара, Fдавл — силу давления шара на дно, Fвыт — выталкивающую силу, g — уско-
рение свободного падения, V1 — объем погруженной части шара.
Дано: |
Решение |
ρв = 1000 кг/м3 |
ПриравновесиишараеговесР=mg |
Pравенсуммесилыдавленияднанашар,
Fдавл = |
2 |
|
|
|
равной по третьему закону Ньютона |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
силе давления шара на дно Fдавл, и ар- |
||||||||
|
= V |
|
|
|
|
||||||||
V |
|
|
|
|
химедовой выталкивающей силе F |
: |
|||||||
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р = Fдавл + Fвыт, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ρш — ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
где по условию задачи |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Fдавл = |
P |
, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Р = |
P |
+ Fвыт |
и |
P = Fвыт |
или |
mg = Fвыт. |
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
Здесь m = ρшV, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Fвыт = ρвg V1 |
= ρвg V . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
Следовательно, |
ρшHgV |
= ρвg V |
, откуда |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρш = |
2 |
|
ρв. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
ρш = 231000 кг/м3 = 667 кг/м3.
Ответ: ρш = 667 кг/м3.
Задача 73. В сообщающиеся сосуды разного сечения налита ртуть так, что ее уровень располагается на расстоянии L от края сосуда (рис. 45, а). Затем в широкий сосуд налили до края воду. На какую высоту hподнялся при этом уровень
122
1. Механика
Рис. 45
ртутивузкомсосуде?СечениеширокогососудавNразбольше, чем узкого, плотности ртути ρ1 и воды ρ2 известны.
Обозначим р1 давление столбика ртути над уровнем ab, р2 — давление столбика воды над этим уровнем, ∆h — разность уровней ртути в широком сосуде до и после того, как туда налили воду, ∆V — объем ртути, выдавленный водой из широкого сосуда, S — площадь сечения узкого сосуда, h — высоту, на которую поднялся уровень ртути в узком сосуде, g — ускорение свободного падения.
Дано: Решение
LВыделим на рис. 45, б уровень ab, ниже
Nкоторого жидкость однородна, т.е. ниже толь-
ко ртуть, и давления сверху на этом уровне в обоих сосудах приравняем.
В узком сосуде на уровень ab давит сверху столб ртути высотой h+ ∆h , где ∆h — разность уровней ртути в широком сосуде до и после того, как
туда налили воду, из−за чего уровень ртути в нем опустился на ∆h, а уровень ртути в узком сосуде поднялся на h. В широком сосуде на этот уровень сверху давит столб воды высотой L + ∆h. Приравняем давление столбика ртути р1 давлению столба воды р2:
р1 = р2,
123
Решебник по физике
где p1 = ρ1g(h+ ∆h) , а p2 = ρ2g(L+ ∆h) .
Тогда
ρ1g(h+ ∆h) = ρ2g(L+ ∆h) , ρ1 (h+ ∆h) = ρ2 (L+ ∆h) . (1)
Теперь учтем, что объем ртути ∆V, выдавленный водой из широкого сосуда, равен объему ртути, прибывшей из−за этого в узкий сосуд. Поскольку объем ∆V можно представить как произведение высоты столбика ртути на площадь поперечного сечения сосуда, то применительно к узкому сосуду, площадь сечения которого обозначим S, запишем: ∆V = hS, а применительно к широкому, площадь которого в N раз больше: ∆V = ∆hNS. Тогда hS = ∆hNS, откуда
∆h = |
h |
|
N . |
(2) |
Подставим (2) в (1) и определим из полученного выражения искомую высоту h:
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|||||||||
|
|
ρ |
h+ |
|
|
|
|
= ρ |
L+ |
|
|
|
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
N |
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
N |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|||||
|
|
ρ h |
1 |
+ |
|
|
|
|
|
= ρ L+ρ |
|
|
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
N |
2 |
|
|
|
|
2 N |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ρ h |
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
−ρ |
|
|
|
= ρ L, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
N |
2 N |
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
h |
ρ1 (N +1) −ρ2 |
= ρ L, |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = |
|
|
|
|
|
|
ρ2LN |
|
|
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
ρ (N +1) −ρ |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
Задача решена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: h = |
|
ρ2LN |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ρ |
(N +1) −ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
124
1. Механика
Задача74.4 одинаковых бруска толщиной 2 см каждый плавают в воде. На сколько изменится глубина погружения брусков, если снять один верхний брусок?
Обозначим h — толщину бруска, ρ — плотность воды, g — ускорениесвободногопадения,V1—объемпогруженных брусков, h1 — глубину погружения двух брусков, h2 — новая глубина погружения 3 брусков, S — площадь основания бруска, Р1 — вес одного бруска, ∆h — изменение глубины погружения, Fвыт1 — выталкивающая сила, действовавшая, когда плавали все 4 бруска.
Дано: |
|
Решение |
|
||
h = 2 см |
|
Пусть вначале в воду погружены 2 из |
|
|
4 брусков. Когда плавали все 4 бруска, |
∆h — ? |
|
|
|
то согласно условию плавания тел вы- |
|
|
талкивающаясилаFвыт1 =4Р1,гдеFвыт1 =ρgV1 = ρgh1S. Объем погруженных двух брусков V1 = h1S, где h1 = 2h. Таким об-
разом,
ρgh1S = 4Р1.
Аналогично, когда сняли один брусок, ρgh2S = 3Р1. Разделим эти равенства друг на друга:
ρgh1S |
= |
4P1 |
, |
h1 |
= |
4 |
, |
|
ρgh S |
3P |
h |
3 |
|||||
|
|
|
|
|||||
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
откуда новая глубина погружения брусков h2 = 34 h1.
Следовательно, глубина погружения брусков изменится на
∆h = h1 – 34 h1 = h41 ,
где h1 = 2h = 2 ∙ 2 см = 4 см, поэтому
∆h = 44 см = 1 см.
Ответ: ∆h = 1 см.
Задача75.ВестелавводеР1 = 120Н,авмаслеР2 = 100Н. Плотность воды ρ1 = 1000 кг/м3, а плотность масла ρ2 = 900 кг/м3. Найти плотность тела.
125
Решебник по физике
ОбозначимРвес телав воздухе,Fвыт1 — выталкивающую силу в воде, ρт — плотность тела, V — объем тела, m — его массу, g — ускорение свободного падения.
Дано:
Р1 = 120 Н
Р2 = 100 Н ρ1 = 1000 кг/м3
ρ2 = 900 кг/м3
ρт — ?
Решение
Вводе Fвыт1 = Р – Р1, где Р = mg =
=ρтV g — вес тела в воздухе. С учетом
этого запишем:
ρвgV = ρтV g – Р1.
Аналогично в масле
ρмgV = ρтV g – Р2.
Запишем эти выражения так:
Р1 = ρтV g – ρвgV или Р1 = V g (ρт – ρв).
Аналогично, применительно к маслу, Р2 = Vg (ρт – ρм). Теперь разделим два последних равенства друг на друга:
P |
|
Vg(ρт |
−ρв ) |
||
1 |
= |
B |
2 |
|
, |
P |
Vg(ρ |
−ρ |
) |
||
2 |
|
тB |
м< |
|
|
ρтР1 – ρмР1 = ρтР2 – ρвР2, ρтР1 – ρтР2 = ρмР1 – ρвР2,
ρ= ρм<P1 −ρв2P2 .
тP1 −P2
ρт = 900 120−−1000 100 кг/м3 = 400 кг/м3. 120 100
Ответ: ρт = 400 кг/м3.
Задача 76. Шарик из материала, плотность которого в n раз меньше плотности воды, падает в воду с высоты Н. На какую максимальную глубину погрузится шарик?
Обозначим m массу шарика, g — ускорение свободного падения, h — максимальную глубину погружения, А — работу архимедовой выталкивающей силы Fвыт, ρш — плотность шарика, V — его объем, ρв — плотность воды.
126
|
|
1. Механика |
|
|
|
Дано: |
Решение |
|
n = |
ρш |
Потенциальнаяэнергияшарикаmg(Н+h) |
ρв |
на высоте Н + h относительно нижней точки |
|
Hпогружения равна по модулю работе архиме-
h — ? |
довой выталкивающей силы А = Fвытh: |
|
|
mg(Н + h) = Fвытh. |
(1) |
Выразим массу шарика через его плотность ρш и объем V: |
||
|
m = ρшV. |
(2) |
Теперь запишем формулу выталкивающей силы: |
|
|
|
Fвыт = ρвgV. |
(3) |
Подставим правые части равенств (2) и (3) в формулу (1):
ρшVg(Н + h) = ρвgVh.
Отсюда
|
ρшН + ρшh = ρвh, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
h = |
|
ρшHH |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ρ |
−ρ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
в2 |
|
шH |
|
|
|
|
|||
По условию задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ρв |
|
|
= n, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
ρш |
|
|
|
|
|
|
||||||
откуда |
|
ρв = nρш. |
|
|
|
|
|||||||||
С учетом этого, h = |
ρшH |
|
|
|
|
= |
|
ρшH |
= |
H |
|||||
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
nρ |
−ρ |
|
ρ |
(n−1) |
n−1 |
||||||||||
|
|
Hш |
|
|
|
шH |
|
шH |
|
|
|
|
|||
Ответ: h = nH−1.
Задача 77. По преданию царь Гиерон обратился к великому Архимеду с просьбой проверить, сплошная ли золотая корона, отлитая для него мастерами, или внутри имеется полость. Выполнив необходимые измерения и расчеты, ученый обнаружил, что внутри короны имеется пустота объемом 9 см3. Для этого Архимед взвесил корону
127
Решебник по физике
ввоздухе и в воде. В воде корона весила 9,22 Н ( единица силы «ньютон» была введена значительно позже). Выполнив расчеты Архимеда, определите, сколько весила корона
ввоздухе. Плотность золота 19,3 ∙ 103 кг/м3, плотность во-
ды 1 ∙ 103 кг/м3.
Обозначим Vпол объем полости в короне, Р1 — вес короны в воздухе, Р2 — вес короны в воде, ρзол — плотность золота, ρв — плотность воды, Fвыт — выталкивающую силу, g — ускорение свободного падения, V — объем короны, Vзол — объем золота в короне.
Дано: |
|
Решение |
|
|
|
||
Р2 = 9,22 Н |
|
На корону в воде действовала |
|
Vпол = 9 см3 |
|
выталкивающая сила Fвыт, рав- |
|
ρзол = 19,3 ∙ 103 кг/м3 |
|
ная разности между весом коро- |
|
ρв = 1 ∙ 103 кг/м3 |
|
ны в воздухе Р1 и в воде Р2: |
|
|
|
Fвыт = Р1 – Р2. |
(1) |
Р1 — ? |
|
||
|
|
||
Согласно формуле выталкивающей силы
Fвыт = ρвgV,
где V — наружный объем короны, равный сумме объема золота Vзол и объема полости Vпол:
V = Vзол + Vпол.
С учетом этого
Fвыт = ρв g (Vзол + Vпол).
Теперь выразим объем золота через его вес в воздухе. Согласно формуле плотности
|
|
|
|
|
|
mзол |
|
|||||
|
ρзол = |
|
7>; |
|
, |
|||||||
|
|
Vзол |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7>; |
|
|
|||
а из формулы 53) |
mзол = |
|
P1 |
, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
поэтому |
ρзол |
= |
|
|
|
P1 |
|
|
|
, |
||
Vзол g |
|
|||||||||||
|
|
|
|
7>; |
|
|
|
|
||||
откуда |
V |
|
= |
|
|
|
P1 |
|
|
. |
||
зол |
|
ρ |
|
|
g |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
зол7>; |
|
|
|
|
||
128
1. Механика
С учетом этого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F |
|
|
|
|
=ρв g |
|
P1 |
|
+V |
|
(2) |
||||
|
|
выт |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
ρзол g |
пол?>; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7>; |
|
|
|
|
|
Подставим (2) в (1): |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ρвg |
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
+Vполn>; |
= P1 −P2, |
||||||||||
|
|
|
ρ7>; g |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
зол |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
P |
|
ρв2 |
+ρвgVпол |
= P |
−P |
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 ρзол |
2 |
?>; |
|
1 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
7>; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = ρзол7>; |
(P2 +ρв2gVпол?>; ). |
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ρзол7>; −ρв2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача в общем виде решена. Произведем вычисления: |
|||||||||||||||||
19,3 103 |
(9,22+1 103 10 9 10−6 ) |
|
|||||||||||||||
Р1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н = 9,82 Н. |
|
19,3 |
103 −1103 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ: Р1 = 9,82 Н.
Задача78.Деревянный кубик с длиной ребра 5 см опускают в воду, а поверх наливают слой керосина вровень с верхней гранью кубика. Найти объем погруженной в воду части кубика. Плотность дерева 960 кг/м3, плотность керосина 800 кг/м3, плотность воды 1000 кг/м3.
Обозначим l длину ребра кубика, ρд — плотность дерева, ρв — плотность воды, ρк — плотность керосина, Fвыт — выталкивающую силу, m — массу кубика, g — ускорение свободного падения, Fвозд — силу давления воздуха, Fв — силу давления воды, Fк — силу давления керосина, рв — давление воды, рк — давление керосина, S — площадь ос-
нования кубика, V — объем кубика, Vпогруж — объем погруженной в воду части кубика, h1 — глубину осадки кубика
в воде, h2 — глубину осадки кубика в керосине.
129