Физка. Задачи и упражнения / Касаткина И.Л. Решебник по физике

Решебник по физике

этом следует учесть, что скорость солдата относительно колонны в этом случае равна разности его скорости v2 относительно дороги и скорости колонны v1 относительно дороги. Поэтому время t1 равно:

t1 = v2 S−v1 ,

где согласно условию v2 −v1 = ∆v = 0,2v1, поэтому

Когда солдат побежал обратно, его скорость относительно приближавшейся к нему колонны стала равна сумме скорости колонны относительно дороги и его собственной скорости относительно нее, поэтому время, за которое он пробежал колонну обратно, равно:

Подставив правые части выражений (2) и (3) в равенст­ во (1), мы решим задачу в общем виде:

Мы решили задачу в общем виде. Выразим все величины

1000   в единицах СИ: 3,6 км/ч = 3,6 3600 м/с = 1 м/с, 0,5 мин =

= 30 с.

Подставим числа и вычислим:

tобщ = 30+ 6011201 (с) = 139 с = 2,3 мин.

Ответ: tобщ = 2,3 мин.

Задача4.Расстояниемеждудвумяприбрежнымипоселками катер проходит по течению за 40 мин, а обратно — за 1 ч. За какое время проплывут это расстояние плоты?

20

1. Механика

Обозначим t1 — время, за которое катер проходит расстояние между поселками по течению, t2 — время, за которое катер проходит расстояние между поселками против течения, t — время, за которое проходят это расстояние плоты, S — расстояние между поселками, vK — скорость катера, vT — скорость течения.

Решение

Когда катер идет вниз по течению, его скорость vK складывается со скоростью течения vT, и поэтому он проходит расстояние между двумя пунк-

тами быстрее, чем в отсутствие течения, — как, например, если бы он плыл по озеру. Тогда согласно формуле скорости равномерного движения

Когда же он идет против течения, оно его тормозит, поэтому он движется медленнее. Теперь его скорость, с которой он проходит прежнее расстояние между пунктами, будет равна разности скорости катера и скорости течения. В этом случае,

Вычтем из равенства (1) равенство (2). При этом знак равенства не нарушится, но зато скорость катера «уйдет»:

vK +vT −vK −(−vT ) = tS1 − tS2 ,

Если теперь в равенство (4) подставить вместо скорости течения правую часть равенства (3) и справа вынести путьS

21

Решебник по физике

за скобки, то он сократится, и у нас останется одно уравнение, в котором будут только одни времена. Приступим:

откуда

t = 2t1t2 . t2 −t1

Мы решили задачу в общем виде. Подставим числа и вычислим:

t = 2 40 60 мин = 240 мин = 4 ч. 60 − 40

Ответ: t = 4 ч.

Задача 5. Эскалатор метро спускает неподвижно стоящего человека за t1 = 1,5 мин. По неподвижному эскалатору человек спускается за t2 = 2 мин. За сколько времени t спустится человек по движущемуся эскалатору? Скорости эскалатора и человека во всех случаях неизменны.

Обозначим S длину эскалатора, v0 — скорость ленты эскалатора, v1 — скорость человека относительно движущейся ленты эскалатора.

Решение

Времяt,закотороечеловекспустится по движущемуся эскалатору, можно определитьотношениемдлиныэскалатора S к скорости человека относительно не-

подвижных объектов (например, стен или дежурной внизу и т.п.), с которыми связана неподвижная система отсчета. Этаскоростьскладываетсяизскоростичеловекаотносительно ленты эскалатора v1 и скорости самой ленты v0. Поэтому

Скорость человека относительно движущейся ленты v1, т.е. его собственную скорость, можно определить отноше-

22

1. Механика

нием длины эскалатора S ко времени t2, за которое он спустится по неподвижному эскалатору, ведь его собственная скорость не изменится от того, движется ли эскалатор или стоит. Поэтому

Аналогично скорость самой ленты эскалатора или скорость его ступенек, т.е. переносную скорость, определим отношением длины эскалатора ко времени, за которое эскалатор спустит неподвижно стоящего человека, т.е. ко времени, за которое его верхняя ступенька съедет вниз,

Несложно догадаться, что если подставить уравнения

(2) и (3) в уравнение (1), то будут исключены неизвестные скорости v1 и v0. Затем, если вынести за скобки длину S в знаменателе, то ее тоже можно будет сократить, и останутся известные времена t1 и t2 и искомое время t в одном уравнении. Проделаем эти действия:

Выполним вычисления:

t = 1,5 2 мин = 0,86 мин. 1,5+ 2

Ответ: t = 0,86 мин.

Задача 6. Тело треть пути проехало со скоростью v1, а оставшуюся часть пути (т.е. две трети пути) — со скоростью v2. Найти среднюю скорость vср на всем пути, пройденном этим телом.

23

Решебник по физике

Обозначим t1 время прохождения трети пути, t2 — время прохождения оставшихся двух третей пути, S — весь путь.

Подставив (2) и (3) в (1), получим:

vcp = S S 2S . 3v1 + 3v2

Нам осталось вынести неизвестный путь S в знаменателе этой формулы за скобки, затем сократить его, и средняя скорость vср будет определена через известные скорости v1 и v2. Проделаем эти действия:

Задача решена.

Ответ: vcp = 3v1+v2 . 2v1 v2

24

1. Механика

Задача7.Тело проехало путь 20 м за 5 с. Какой путь оно проедет за 10 с, если его скорость увеличить на 40%?

Обозначим S1 путь, пройденный телом за время t1, S2 — путь, пройденный телом за время t2, ∆v — изменение скорости тела, v1 — скорость тела до ее увеличения, v2 — скорость тела после увеличения.

Поскольку v2 = v1 + ∆v = v1 + 0,4v1 = 1,4v1, то, подставив правую часть этого равенства в формулу (2) вместо v2, получим:

Если теперь разделить левые и правые части равенств

(1) и (2) друг на друга, то неизвестная скорость v1 сократится, и из полученной пропорции мы сумеем найти искомый путь S2. Проделаем эти действия:

откуда

S2 = 1,4S1 tt2 .

1

Мы решили задачу в общем виде. Подставим числа и вычислим искомый путь:

S2 =1,4 20105 м = 56 м.

Ответ: S2 = 56 м.

Задача8.Поезд начал двигаться равноускоренно с ускорением 2 м/с2 и за 10 с проехал некоторый путь. Найти скорость поезда в средней точке этого пути.

25

Решебник по физике

Обозначим а ускорение поезда, t — все время движения, v0 — начальную скорость поезда, v — скорость в средней точке пути, S — весь пройденный путь.

Мы знаем ускорение и время движения поезда, поэтому найдем весь путь S, пройденный поездом за время t:

при v0 = 0

S = at2 . 2

Нам надо найти скорость поезда v на середине этого пу-

ти, т.е. на расстоянии S2 от начала движения. Теперь для

нахождения  скорости в средней точке всего пути, которая является конечной скоростью для первой половины всего пути S, мы можем воспользоваться формулой 9):

при v0 = 0

v2 = 2aS = aS = a2t2 , 2 2

откуда

v = at2.

Мы решили задачу в общем виде. Подставим числа и вычислим искомую скорость:

v = 2 102 м/с = 14 м/с.

Ответ: v = 14 м/с.

Задача 9. Два мотоциклиста выезжают одновременно с вершины горы и с ее основания навстречу друг другу. Один

26

1. Механика

из них спускается равноускоренно с горы с начальной скоростью 36 км/ч и ускорением 2 м/с2, а другой поднимается в гору с начальной скоростью 72 км/ч и с тем же по модулю, но отрицательным ускорением. Длина горы 300 м. Через сколько времени они встретятся?

Обозначим vo1 начальную скорость спускающегося мотоциклиста, а — модуль их ускорения, vo2 — начальную скорость поднимающегося мотоциклиста, хо — первоначальное расстояние между ними, х — их конечную координату, обозначающую место встречи, t — время, через которое они встретятся.

Решение

В момент встречи у обоих мотоциклистов будет одинаковая координата х. Поскольку они оба движутся с постоянным и одинаковым по модулю ускорением, то уравнение координаты спускающегося с горы мотоцик-

листа, если принять его начальную координату равной нулю, имеет вид:

х = vo1t + at2 . 2

Поднимающийся в гору мотоциклист имел начальную координату хо относительно спускающегося и двигался навстречу ему, поэтому перед модулем его начальной скорости поставим минус. Он двигался с замедлением, то есть вектор его ускорения, всегда совпадающий с направлением вектора изменения скорости, направлен противоположно вектору его начальной скорости, то есть вектор ускорения поднимающегося мотоциклиста направлен вниз. В результате уравнение координаты применительно к поднимающемуся мотоциклисту имеет вид:

х = хо – vo2t + at2 . 2

Приравняем правые части этих равенств и из полученного выражения найдем время t:

27

Решебник по физике

Выразим единицы скоростей в СИ:

36 км/ч = 10 м/с, 72 км/ч = 20 м/с.

Произведем вычисления:

Ответ: t = 10 с.

Задача 10. На рис. 9 изображен график проекции скорости переменного движения материальной точки в зависимости от времени движения. Определить с помощью графика среднюю скорость точки за 5 с и ее ускорение через 2 с от начала движения.

Обозначим t1 время, за которое надо определить среднюю скорость vср, t2 — время, через которое надо определить ускорение a, v0 — начальную скорость, S — путь, на котором надо определить среднюю скорость.

28

1. Механика

Средняя скорость на этом пути равна отношению пути ко времени движения t1:

Ускорение через t2 = 2 с численно равно тангенсу угла наклона графика к оси времени:

а = tg α = Odad = 02,,56 м/с2 = 0,24 м/с2.

Ответ: vср = 0,45 м/с, а = 0,24 м/с2.

Задача 11. Начальная скорость материальной точки 4 м/с. Вначале точка движется замедленно с модулем ускорения 1 м/с2. Найти весь путь, который она проделает за 10 с, двигаясь с постоянным по модулю ускорением.

Обозначим v0 начальную скорость точки, а — ускорение, t — время движения, S — пройденный путь за это время, t1 — время торможения, v — скорость в конце торможения, S1 — путь, пройденный равнозамедленно в течение времени t1, S2 — остальной путь, пройденный равноускоренно в течение времени t2.

29