Физка. Задачи и упражнения / Касаткина И.Л. Решебник по физике
.pdf
Решебник по физике
v = 2TπR ,
где 2R = d, поэтому |
|
|
|
v = |
πd |
. |
|
|
|
||
|
T |
|
|
Отсюда |
|
|
|
Т = |
πd . |
(2) |
|
|
v |
|
|
Подставим (2) в (1):
N = πvtd.
Выразим все величины в единицах СИ:
1 мин = 60 с, 30 см = 0,3 м.
Произведем вычисления:
95 60
N = 3,14 0,3 ≈ 6051. Ответ: N = 6051.
Задача 23. Горизонтальная платформа равномерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. На расстоянии, равном трети радиуса платформы, отрывается от ее поверхности небольшое тело и скользит по ней без трения. Через сколько времени тело слетит с платформы,еслидоотрываонодвигалосьсускорением0,1м/с2? Радиус платформы 60 см.
Обозначим а — ускорение тела, R — радиус платформы, t — время, через которое тело слетит с платформы, v — линейную скорость тела на платформе, S — путь, который пройдет тело.
Дано: |
|
Решение |
|
||
a = 0,1 м/с2 |
|
Чтобы легче представить движение |
R = 60 см |
|
тела по платформе, выполним чертеж |
|
|
(рис. 15). Посмотрим на платформу |
t — ? |
|
|
|
сверху и нарисуем круг, покажем его |
50
1. Механика
Рис. 15
центр О и проведем горизонтальный радиус R. Затем на расстоянии, равном трети радиуса от края платформы, изобразим тело в точке М в момент отрыва. Значит, в этот момент от тела до центра платформы расстояние составило две трети радиуса.
Теперь давайте думать. Нам известно ускорение тела а перед отрывом от поверхности платформы. Но платформа вращается равномерно, значит, это его центростремительное ускорение. В момент отрыва линейная скорость тела v направлена по касательной к окружности, по которой оно двигалось до отрыва. Радиус этой окружности составлял
23R. А мы знаем формулу, связывающую линейную ско-
рость сцентростремительным ускорением.Применительно к нашей задаче она будет выглядеть так:
a = |
v2 |
= |
3v2 |
. |
(1) |
||
2 |
R |
2R |
|||||
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
После отрыва тело станет двигаться к краю платформы без трения. Значит, это движение будет равномерным и прямолинейным со скоростью v. Тогда тело слетит с платформы в точке С, проделав путь S. Если этот путь разделить
51
Решебник по физике
на линейную скорость тела, мы найдем искомое время t, через которое тело слетит с платформы:
t = |
S. |
(2) |
|
v |
|
Дальнейший ход решения ясен. Путь S находим из прямоугольного треугольника МСОпо теореме Пифагора, а линейную скорость v — из выражения (1), и все это подставляем в равенство (2). Приступим. По теореме Пифагора
S = R2 − |
4 |
R2 |
= |
R |
5. |
(3) |
|
9 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
Теперь из (1) находим линейную скорость v:
v = |
2 |
aR. |
(4) |
|
3 |
||||
|
|
|
Нам осталось подставить правые части равенств (3) и (4) в формулу (2), и задача в общем виде будет решена. Подставляем:
t = |
|
R 5 |
= |
R25 |
= |
5R |
. |
||||
|
2 |
aR |
9 |
2 |
aR |
6a |
|||||
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
|
|
||||||
Задача в общем виде решена. Подставим числа и вычис-
лим. 60 см = 0,6 м.
t = |
5 0,6 |
с = 2,2 с. |
6 0,1 |
Ответ: t = 2,2 c.
Задача 24. Путь, пройденный материальной точкой, движущейся равномерно по окружности радиусом 6,28 см, изменяется с течением времени согласно уравнению S =
=31,4 t (см). Чему равна угловая скорость точки? ОбозначимRрадиусокружности,S—пройденныйпуть,
t — время движения, ω — угловую скорость точки, v — ее линейную скорость.
52
|
|
1. Механика |
|
|
|
Дано: |
|
Решение |
|
||
R = 6,28 см |
|
Поскольку материальная точка |
S = 31,4 t (см) |
|
движется по окружности равномерно, |
|
|
то и здесь нам пригодится формула: |
ω — ? |
|
|
|
S = vt. |
|
|
||
|
|
Если сравнить ее с уравнением S = 31,4 t (см), то станет ясно, что линейная скорость точки v = 31,4 см/с. Теперь мы легко найдем искомую угловую скорость:
ω = Rv .
Осталось подставить числа и вычислить:
ω = 631,28,4 радс = 5 радс .
Ответ: ω = 5 радс .
Задача25.По горизонтальной поверхности равномерно перемещают груз массой 97 кг при помощи веревки, образующей угол 30°с горизонтом. Коэффициент трения между грузом и поверхностью 0,2. Найти силу натяжения веревки для этого случая, а также в случае, когда груз толкают равномерно с помощью стержня, наклоненного к горизонту под тем же углом.
Обозначим m массу груза, g — ускорение свободного падения, α— угол наклона веревки и стержня к горизонту, F — прилагаемую к грузу силу, которую требуется найти, N — силу реакции опоры, Fтр — силу трения.
Решение
Если груз движется равномерно и прямолинейно, то согласно первому закону Ньютона все приложенные к нему силы уравновешены. В случае когда груз тянут с помощью веревки, сила трения уравновешена горизонтальной составляющей
силы F, которая равна F cosα, а сила тяжести mg уравновешена вертикальной составляющей силы F, которая равна
53
Решебник по физике
по модулю F sinα, и направленной тоже вверх силой реакции опоры N (рис. 16, а):
|
Fтр = F cosα |
(1) |
и |
mg = F sinα + N. |
(2) |
Сила трения равна произведению коэффициента трения и силы реакции опоры:
Fтр = µN, |
(3) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 16 |
54
1. Механика
где из (2) |
|
N = mg – F sinα. |
(4) |
Подставим (4) в (3): |
|
Fтр = µ(mg – F sinα). |
(5) |
Теперь приравняем правые части равенств (1) и (5) и из полученного выражения найдем искомую силу F:
µ(mg – F sinα) = F cosα, µmg – µF sinα = F cosα,
µmg = µF sinα + F cosα, F = |
µmg |
. |
µsinα+cosα
Произведем вычисления:
0,2 97 10
F = 0,2sin30°+cos30° Н = 204 Н.
В случае когда груз толкают с помощью стрежня (рис. 16, б), выражение (2) примет вид:
mg + F sinα = N и тогда Fтр = µ(mg + F sinα).
Тогда µ(mg + F sinα) = F cosα и F = |
µmg |
|||
|
. |
|||
cosα −µsinα |
||||
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
F = |
0,2 97 10 |
Н = 259 Н. |
||
|
||||
cos30°−0,2sin30° |
||||
Ответ: а) F = 204 Н; б) F = 259 Н.
Задача 26. Первый парашютист массой 75 кг опускается равномерно со скоростью 4 м/с. Чему равна масса второго парашютиста, опускающегося на таком же парашюте равномерно со скоростью 6 м/с, если сила сопротивления воздуха прямо пропорциональна квадрату их скорости?
Обозначимm1 —массупервогопарашютиста,v1 —егоско- рость,v2 —скоростьвторогопарашютиста,Fсопр —силусопро- тивления,k—коэффициентпропорциональности,v2 —квад- рат скорости парашютистов, g — ускорение свободного падения, m2 — массу второго парашютиста, Fсопр1 — силу
55
Решебник по физике
сопротивлениядвижениюпервогопарашютиста,Fсопр2 —силу сопротивления движению второго парашютиста.
Дано:
m1 = 75 кг v1 = 4 м/с v2 = 6 м/с
Fсопр = kv2
m2 — ?
Решение
Поскольку парашютисты опускались равномерно, значит, сила сопротивления воздуха уравновешена силой тяжести в соответствии с первым законом Ньютона:
Fсопр1 = m1g и Fсопр2 = m2g.
Согласно условию
F |
сопр1 |
= kv2 |
и F |
сопр2 |
= kv2 . |
|
1 |
|
2 |
Подставим правые части этих выражений вместо сил сопротивлений в предыдущие формулы:
kv2 |
= m |
g и kv2 |
= m |
g. |
1 |
1 |
2 |
2 |
|
Теперь разделим левые и правые части этих равенств друг на друга и из полученной пропорции найдем искомую массу:
kv12 = m1g . kv22 m2g
Отсюда m = m |
|
v2 |
2 . |
|||||
|
|
|||||||
|
|
2 1 |
|
|
||||
|
|
|
v1 |
|
||||
|
|
|
|
v2 |
2 |
|||
Ответ: m2 |
= m1 |
. |
||||||
|
||||||||
|
|
v1 |
|
|
||||
|
|
|
||||||
Задача27.Груз массой 0,4 кг поднимают равноускоренно на нити в течение 2 с. При этом его скорость возрастает с 2 м/с до 10 м/с. Определить силу, с которой нить действует на груз.
Обозначим m массу груза, t — время подъема, vo — модуль начальной скорости, v — модуль его скорости в конце подъема, F — силу, приложенную к грузу, g — ускорение свободного падения,
Рис. 17 a — ускорение груза. Выполним чертеж (рис. 17).
56
|
|
1. Механика |
|
||
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
Решение |
|
||
|
|
||||
m = 0,4 кг |
|
На тело действуют две противопо- |
|||
t = 2 с |
|
ложно направленные силы: сила F , под- |
|||
vo = 2 м/с |
|
нимающая его, и сила тяжести mg, на- |
|||
v = 10 м/с |
|
правленная вниз. Ихравнодействующая |
|||
g = 10 м/с2 |
|
||||
|
ma по модулю равна разности этих сил |
||||
|
|
||||
|
|
согласно второму закону Ньютона: |
|||
F — ? |
|
||||
|
|
|
|
ma = F – mg, |
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
F = ma + mg = m(a + g). |
(1) |
||
Ускорение а найдем по формуле |
|
||||
|
|
а = |
v − vo |
. |
(2) |
|
|
||||
|
|
|
t |
|
|
Подставим (2) в (1):
F= m v − vo + g .
t
Произведем вычисления:
|
10− 2 |
|
|
||
F = 0,4 |
|
|
+10 |
Н = 5,6 Н. |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
||
Ответ: F = 5,6 Н.
Задача 28. Тело массой 5 кг движется вертикально вниз с ускорением 15 м/с2. Определить силу, действующую на него.
Обозначим m массу тела, a — его ускорение, g — ускорение свободного падения, F — силу, действующую на тело помимо силы тяжести. Выполним чертеж (рис. 18).
Дано: |
|
Решение |
Рис. 18 |
|
|
||
m = 5 кг |
|
Поскольку ускорение, с которым |
|
a = 15 м/с2 |
|
должно двигаться тело, больше уско- |
|
g = 10 м/с2 |
|
рения свободного падения, сила, дейс- |
|
|
|
твующая на тело, направлена в сторо- |
|
F — ? |
|
||
|
ну силы тяжести, т.е. тоже вниз. Тогда |
||
|
|
||
57
Решебник по физике
согласно второму закону Ньютона произведение массы тела и его ускорения равно сумме этих сил:
ma = F + mg,
откуда
F = ma – mg = m(a−g).
Произведем вычисления:
F = 5 (15 – 10) Н = 25 Н.
Ответ: F = 25 Н.
Задача 29. Груз массой 5 кг опускают на динамометре по вертикали в течение 2 с. Движение равноускоренное. Начальная скорость груза 2 м/с, конечная 8 м/с. Определить показание динамометра.
Обозначим m массу груза, t — время движения, vo — начальную скорость, v — конечную скорость, F — силу, действующую на пружину динамометра, g — ускорение свободного падения.
Дано: m = 5 кг t = 2 с
vo = 2 м/с v = 8 м/с
g = 10 м/с2
F — ?
Решение
На опускающийся груз действуют две силы: сила тяжести со стороны земли, направленная вниз, и сила реакции пружины N, равная по модулю силе F, растягивающей пружину, но направленная вверх (рис. 19). Согласно второму закону Ньютона их равнодействующая по модулю равна разности этих сил:
ma = mg – F,
откуда
F = ma + mg = m(a + g). |
(1) |
Ускорение а найдем по формуле ускорения при равноускоренном движении:
|
|
a = |
v −vo |
|
(2) |
|
|
||||
|
|
t . |
|||
|
|
|
|||
Рис. 19 |
|
|
|
||
58
1. Механика
Подставим (2) в (1):
F= m g − v − vo .
t
Произведем вычисления:
F = 5 |
|
10 |
− |
8− |
2 |
Н = 35 Н. |
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: F = 35 Н.
Задача 30. На полу лифта лежит груз массой 50 кг. Лифт поднимается с торможением в течение 3 с с начальной скоростью 8 м/с и конечной 2 м/с. Найти силу давления груза на пол лифта.
Обозначим m массу тела, t — время подъема, vo — начальную скорость лифта, v — его конечную скорость, g — ускорение свободного падения, F — силу давления груза на пол лифта, N — силу реакции пола лифта.
Дано: m = 50 кг t = 3 с
vo = 8 м/с v = 2 м/с
g = 10 м/с2
F — ?
Решение
Лифт с грузом движется вверх с замедлением, поэтому сила давления груза на пол F, равная по модулю силе реакции N, меньшесилытяжестиmg(рис.20).Повторому закону Ньютона
ma = mg – N,
откуда
N = F = mg – ma = m(g – a). |
(1) |
|||||||||||
Конечная скорость лифта при равнозамедлен- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ном движении определяется формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
v = vo – at, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a = |
vo −v |
. |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим (2) в (1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
− v |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
F = m g − |
o |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Рис. 20 |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
59