Физка. Задачи и упражнения / Касаткина И.Л. Решебник по физике

Решебник по физике

вания шара mv0 + (–Мv1) равен суммарному импульсу этих тел после пробивания mv + (–Мv2). С учетом

Скорость шара v1 перед попаданием в него пули найдем иззаконасохранениямеханическойэнергии,согласнокоторому потенциальная энергия шара, поднятого на высоту h1 над положением равновесия при отклонении его на угол α, превращается в нижней точке его траектории в кинетичес-

110

1. Механика

Высоту поднятия шара над положением равновесия h1 найдем, обратившись к рис. 38, а):

h1 = l – l cos α = l(1 – cos α).

С учетом этого,

Аналогичным образом определим и скорость шара v2 после пробивания его пулей, когда его новая кинетическая энергия превратится в новую потенциальную энергию при отклонении на угол β:

Подставим правые части равенств (3) и (4) в формулу (2):

Нам осталось подставить правую часть равенства (5) в формулу (1):

Задача 67. На дне ящика находится шар, удерживаемый нитью в равновесии (рис. 40). На какой максимальный угол можно отклонить ящик от горизонтальной поверхности, чтобы шар остался в равновесии, если коэффициент трения шара о дно ящика равен 0,5? Весом нити пренебречь.

Обозначим μ коэффициент трения шара о дно ящика, α — максимальный угол, на который можно отклонить ящик от горизонтальной поверхности, m — массу шара,

111

Решебник по физике

Рис. 40

g — ускорение свободного падения, Fтр — силу трения, Fнат — силу натяжения нити, FN — силу реакции опоры.

Решение

Выполним чертеж, на котором покажем все силы, приложенные к шару. На него действуют: сила тяжести mg, сила

трения Fтр, сила реакции опоры FN и сила натяжения нити Fнат. Разложим силу тяжести на скатывающую mg sin α и прижимающую к дну ящика mg cos α. При равновесии шара mg sin α = Fнат + Fтр , а также согласно равенству моментов сил трения и натяжения относительно оси вращения, проходящей через точку О, Fнат R = FтрR , откуда

Fнат = Fтр.

Здесь R — радиус шара, который является плечом сил трения и натяжения.

С учетом этого,

112

1. Механика

Ответ: α = 45°.

Задача69.Трубамассой14кглежитназемле.Определить силу, необходимую, чтобы приподнять трубу за один конец.

Обозначим m массу трубы, g — ускорение свободного падения, F—силу, приложенную кконцу трубы, l—длину трубы, M1 — момент силы тяжести, M2 — момент силы F.

Решение

Пусть труба поворачивается вокруг точки О (рис. 41). На нее действуют две силы: сила тяжести mg, приложенная к середине трубы, и сила F,

приложенная к ее концу.  Труба еще будет в равновесии, если сумма моментов этих сил будет равна нулю:

М1 + М2 = 0.

Рис. 41

МоментсилытяжестиМ1 равенпроизведениюэтойсилы и ее плеча. А плечо силы тяжести, т.е. кратчайшее расстояние от линии действия этой силы до оси вращения трубы, т.е. до точки О, равно половине длины трубы. Поэтому

M1 = mg 2l .

Момент силы F равен произведению этой силы на ее плечо, которое равно длине трубы l. Поэтому

M2 = Fl.

113

Решебник по физике

Момент силы тяжести положителен, ведь она вращает трубу по часовой стрелке, а момент силы F отрицателен, поскольку эта сила вращает трубу против часовой стрелки. Поэтому, подставив с учетом знаков правые части двух последних формул в первую, получим:

mg 2l −Fl = 0,

Произведем вычисления:

F = 14 10 Н = 70 Н. 2

Ответ: F = 70 Н.

Задача 69. Тонкая однородная доска массой 3 кг и длиной 1,5 м упирается одним концом в угол между стенкой

иполом, а к другому концу доски привязан канат (рис. 42). Определитьсилунатяженияканата,еслиуголмеждудоской

иканатом прямой, а между доской и полом он равен 60°.

Рис. 42

114

1. Механика

Обозначим m массу доски, l — ее длину, α— угол между доской и полом, М1 — момент силы тяжести, М2 — момент силы натяжения, g — ускорение свободного падения, Fнат — силу натяжения.

где 2l cosα  — плечо силы тяжести (рис. 42).

Момент силы натяжения М2 = Fнат l. Здесь плечом силы натяжения является длина доски.

Следовательно, согласно первому равенству

mg 2l cosα = Fнат l,

Fнат = 12 3 ∙ 10 cos 60° Н = 7,5 Н.

Ответ: Fнат = 7,5 Н.

Задача 70. Четвертая часть горизонтального стержня изготовлена из меди. Ее масса 2 кг. Масса остальной — стальной части стержня 4 кг. Длина всего стержня 1 м. Найти положение центра тяжести стержня относительно его медного конца.

Обозначим m1 массу медной части стержня, m2 — массу стальнойчастистержня,l—длинустержня,х—расстояние

115

Решебник по физике

от этого центра верно О до левого конца стержня, g — ускорение свободного падения, М1 — момент силы, вращающей стержень по часовой стрелке, М2 — момент силы, вращающей стержень против часовой стрелки, l1 — плечо силы тяжести m1g, l2 — плечо силы тяжести m2g.

Решение

Чтобы лучше разобраться с условием задачи и наметить пути ее решения, выполним подробный чертеж (рис. 43). Нарисуемстерженьдлинойl.Обозначим его концы, например, буквами а и d.

Медную часть стержня, составляющую четверть его длины, отделим от стальной части, составляющей три четверти его длины, отрезком b.

К центру масс медной части С1, расположенному посередине ее,приложим силутяжести m1g,акцентру С2 стальной части, тоже расположенному посередине этой части, приложим силу тяжести m2g, вектор которой должен быть длиннее, потому что стальная часть стержня тяжелее медной. И соединим эти центры тяжести горизонтальным отрезком С1С2. Так мы получим рычаг, на концы которого С1 и С2 будут действовать две силы: сила тяжести m1g, стремящаяся повернуть рычаг против часовой стрелки, и сила

116

1. Механика

тяжести m2g, которая стремится повернуть его по часовой стрелке вокруг центра тяжести стержня О.

Теперь подумаем: где будет располагаться центр тяжести всего стержня. Это должна быть такая точка, в которой, если стержень подпереть, он останется в равновесии. Очевидно, эта точка расположена где то между точками С1 и С2 ближе к точке С2. Обозначим ее буквой О и подрисуем снизу малый треугольник, обозначающий опору. Нам требуется определить расстояние х от этого центра тяжести О до левого конца стержня, т.е. до точки а.

Согласно условию равновесия тела, имеющего ось вращения, на которое действуют две силы, момент силы, вращающей тело по часовой стрелке, должен быть равен моменту силы, вращающей его против часовой стрелки. При выполнении этого условия тело не будет вращаться вокруг этой оси. У нас вращает тело по часовой стрелке вокруг точки О сила тяжести m2g, а против — сила тяжести m1g. Значит, чтобы стержень оставался в равновесии, моменты М1 и М2 этих сил должны быть равны друг другу:

М1 = М2.

Согласно формуле момента силы момент силы М1 равен произведению силы тяжести m1g и ее плеча l1, а момент силы М2 равен произведению силы тяжести m2g и ее плеча l2:

Теперь осталось самое трудное: найти плечи этих сил тяжести. Напомним, что плечом силы называется кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия этой силы. Поэтому плечом l1 силы тяжести m1g будет отрезок С1О. Как же его найти?

Если внимательно посмотреть на рис. 43 и хорошенько подумать, то можно сообразить, что плечо l1 равно разности отрезков аО = х и аС1, причем отрезок аС1 составляет половину медной части стержня, ведь точка С1 делит медную часть пополам. А медная часть согласно условию задачи

117

Решебник по физике

составляет четверть длины стержня, поэтому отрезок аС1 составляет восьмую часть его длины. Значит,

Теперь подумаем, чему равно плечо l2 — это будет отрезок ОС2. Посмотрев внимательно на рис. 43, можно сообразить, что отрезок ОС2 равен разности отрезков аС2 и аО. Отрезок аС2 равен сумме отрезка аb, составляющего четверть длины стержня, и отрезка bC2, который равен половине длины стальной части стержня, равной трем четвертям длины всего стержня, поэтому

Нам осталось подставить правые части равенств (2) и (3) в уравнение (1) и, выполнив алгебраические преобразования, найти х. Проделаем эти действия:

m1x −m1 8l = m2 58l −m2x,

x(m1 +m2 ) = 8l (m1 +5m2 ),

Задача в общем виде решена. Произведем вычисления:

Ответ: х = 46 см.

118

1. Механика

Задача 71. На двух вертикальных пружинах одинаковой длины с жесткостями 10 Н/м и 30 Н/м подвешен стержень массой 3 кг длиной 2 м (рис. 44). На каком расстоянии от конца стержня, к которому прикреплена пружина с жесткостью 10 Н/м, надо подвесить груз, чтобы стержень остался в горизонтальном положении и при этом пружины удлинились на 20 см?

Обозначим k1 жесткость левой пружины, k2 — жесткость правой пружины, m — массу стержня а), l — его длину, х — деформацию пружины, l1 — расстояние от конца стержня до точки подвеса груза, F1 — силу, вращающую стержень против часовой стрелки, F2 — силу, вращающую стержень по часовой стрелке, М — момент силы тяжести, М1 — момент силы F1, М2 — момент силы F2, g — ускорение свободного падения.

119