Физка. Задачи и упражнения / Касаткина И.Л. Решебник по физике

Решебник по физике

понизилась на ∆Т, т.е. стала равной Т – ∆Т. Поэтому теперь запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для нового

состояния:

p2V = m−M∆mR(T −∆T).

p1 , надо разделить p2

первое уравнение на второе и выполнить сокращения:

Но нам не даны ни масса газа m, ни ее изменение ∆m, а да­ ноотношение ∆mm, выраженное в процентах.

Если ∆mm100%= 40%, то ∆mm = 0,4. Чтобы получить от-

ношение ∆mm в последнем уравнении, разделим в его пра-

вой части числитель и знаменатель на m (от этого равенство не нарушится):

Выразим начальную температуру в единицах СИ: 15 °С = 288 К.

220

2. Молекулярная физика и термодинамика

Произведем вычисления:

Ответ: р1/р2 = 1,7.

Задача 23. В цилиндре под двумя одинаковыми тонкими поршнями находится сжатый идеальный газ. Расстояния от дна цилиндра до нижнего поршня и от нижнего поршня до верхнего одинаковы и равны h (рис. 83). Давление воздуха под верхним поршнем вдвое больше атмосферного. Вся система находится в равновесии. На верхний поршень надавливают так, что он опускается на место нижнего, сжимая газ. Каким станет расстояние х от нижнего поршня до дна сосуда? Атмосферное давление постоянно.

Обозначим h расстояние от дна цилиндра до нижнего поршня и от нижнего поршня до верхнего, х — расстояние х от нижнего поршня до дна сосуда после сжатия, ратм — атмосферное давление, р1 — давление газа под верхним поршнем, рп — давление поршня, V1 — объем воздуха под верхним поршнем вначале, S — площадь основания поршней и дна цилиндра, р2 — давление под верхним поршнем после опускания верхнего поршня на место нижнего,

Рис. 83

221

Решебник по физике

рс — давление силы, придавившей поршень, V2 — новый объем воздуха под верхним поршнем, р3 — давление газа под нижним поршнем до опускания верхнего, р4 — давление газа под нижним поршнем после его сжатия, Т3 — объем воздуха под нижнем поршнем после сжатия.

Решение

Поскольку об изменении температуры нам ничего не сказано, мы имеем право считать процесс сжатия газа изотермическим. Значит, здесь можно применить закон Бойля — Мариотта, записав его применительно к газу сначала

под верхним поршнем, потом под нижним.

Закон Бойля — Мариотта применительно к газу под верхним поршнем будет выглядеть так:

Давление газа под верхним поршнем р1 при равновесии равно сумме атмосферного давления ратм и давления порш-

ня рп:

р1 = ратм + рп.

Но по условию задачи р1 = 2ратм, поэтому 2ратм = ратм + рп, откуда

Объем воздуха под верхним поршнем вначале был равен:

После опускания верхнего поршня на место нижнего газ под ними сжался и давление под верхним поршнем стало р2. Теперь оно равно сумме давлений атмосферы ратм, поршня рп и некоторой силы, придавившей поршень, рс:

р2 = ратм + рп + рс

или с учетом (2)

222

2. Молекулярная физика и термодинамика

Новый объем воздуха под верхним поршнем станет равен:

Подставим равенства р1 = 2 ратм, (3), (4) и (5) в формулу (1):

Теперь перейдем к газу под нижним поршнем. Запишем применительно к нему закон Бойля — Мариотта:

Давление газа под нижним поршнем р3 до опускания верхнего было равно сумме давления газа под верхним поршнем р1 и давления самого нижнего поршня рп:

Давление газа р4 под нижним поршнем после его сжатия стало равно сумме давления газа под верхним поршнем р2

согласно (2) и (4).

Новый объем воздуха под нижним поршнем станет равен:

Теперь нам предстоит решить систему уравнений (6) и (11) относительно искомого расстояния х, исключив из них неизвестные давления. Давайте в этих уравнениях

223

Решебник по физике

сначала раскроем скобки и сделаем приведение подобных членов — может, мы их при этом немного упростим. Начнем с уравнения (6)

2ратмh = 2pатмh + pch – 2pатмх – рсх,

Если теперь разделить левые и правые части уравнений (12) и (13) друг на друга, то все неизвестные давления сократятся и мы сумеем найти расстояние х:

Задача решена.

Ответ: х = 0,55h.

Задача 24. Чему равна плотность пара в пузырьках, поднимающихся к поверхности воды, кипящей при атмо­ сферном давлении?

Указание: температура кипения воды при нормальном атмосферном давлении равна 100 °С.

Обозначим t температуру пара по шкале Цельсия, T — эту же температуру по шкале Кельвина (абсолютную температуру), p — давление пара в пузырьках, m — массу пара в некотором объеме V, R — молярную газовую постоянную, ρ — плотность пара, M — его молярную массу.

224

2. Молекулярная физика и термодинамика

Отношениемассыгазакобъему определим из уравнения Менделеева — Клапейрона, в которое входят эти величины:

pV = Mm RT,

откуда

Подставим (2) в (1):

ρ= pMRT .

Выразим температуру пара в единицах СИ: 100 °С = 373 К.

Произведем вычисления:

ρ= 105 0,018 кг/м3 ≈ 0,58 кг/м3. 8,31 373

Ответ: ρ = 0,58 кг/м3.

Задача 25. Воздушный шар имеет объем 200 м3. Температура воздуха снаружи 17 °С, температура воздуха внутри шара 127 °С. Давление атмосферы нормальное, в шаре имеется отверстие. Шар движется вверх равномерно. Сопротивлением пренебречь. Найти массу нерастяжимой оболочки шара.

Обозначим V объем шара, t1 — температуру наружного воздуха по шкале Цельсия, t2 — температуру внутри шара по шкале Цельсия, Т1 — температуру наружного воздуха по шкале Кельвина, Т2 — температуру воздуха внутри шара по шкале Кельвина, р — давление атмосферы, ρ— плотность воздуха снаружи, m — массу воздуха внутри шара,

225

Решебник по физике

m0 — массу оболочки, R — молярную газовую постоянную, M — его молярную массу воздуха, Fвыт — выталкивающую силу, g — ускорение свободного падения.

По формуле выталкивающей силы

Fвыт = ρgV.

pM

Плотность наружного воздуха ρ = RT1 , поэтому

Массу воздуха внутри шара определим из уравнения Менделеева — Клапейрона:

m

откуда

рV = M RT2 ,

Подставимправыечастиравенств(2)и(3)ввыражение(1), и из полученного уравнения найдем массу оболочки:

Выразим температуру в градусах Кельвина: 17 °С = 290 К, 127 °С = 400 К.

226

2. Молекулярная физика и термодинамика

Ответ: m0 = 66 кг.

Задача26.Молярная масса газа у поверхности планеты 0,04 кг/моль, температура у ее поверхности 427 °С и давление составляет 80 земных атмосфер. Считая температуру у поверхности Земли равной 27 °С, найти, во сколько раз плотность газа у поверхности планеты больше плотности воздуха у поверхности Земли. Молярная масса воздуха

0,029 кг/моль

227

Решебник по физике

Задача 27. В вертикальной стеклянной трубке, запаянной снизу и открытой сверху, с площадью отверстия S находится столбик ртути высотой h. Во сколько раз уменьшится длина воздушного столбика под ртутью, если в трубку долить ртуть массой m? Плотность ртути ρ, давление атмосферы р0.

Дано: Решение

SПоскольку температура Т1 воздуха, запер-

hтого столбиком ртути, не изменялась в процес-

mсе его сжатия столбиком ртути вследствие уве-

ρличения массы ртути, то применим к первому

gкон Бойля — Мариотта:

Давление воздуха под ртутью, когда ее долили в трубку, р2 = р0 + ρg(h + ∆h), где дополнительная длина столбика ртути

Подставим правые части равенств (2), (3), (4) и (5) в уравнение (1):

228

2. Молекулярная физика и термодинамика

Задача28.В комнате объемом V = 120 м3 при температуре t = 15 °С относительная влажность воздуха ϕ = 60 %. Определите массу водяных паров в воздухе комнаты. Давление насыщенных паров р0 при t = 15 °С равно 12,8 мм рт. ст.

Обозначим р давление ненасыщенных водяных паров в комнате при 15 °С, М — молярную массу водяного пара, m — массу пара в комнате, R — молярную газовую постоянную, T — абсолютную температуру в комнате. Остальные величины, необходимые для решения задачи, обозначены в ее условии.

Давление р ненасыщенного пара в комнате найдем из формулы относительной влажности:

ϕ = p 100%, p0

откуда

229