TETs_Sobolev

40 Г л а в а 1

пряжения UAB. Вектор тока iC, опережающего напряжение uAB на 90◦, направляем вертикально вверх. Вектор тока iL, отстающего от напряжения uAB на 90◦, направляем вертикально вниз. В результате получаем векторную диаграмму, представленную на рис. 1.35,v. Для ветви, изображённой на рис. 1.35,b, векторная диаграмма представлена на рис. 1.35,g в предположении, что xL > xC. Вектор UDF получен сложением векторов UR, UL и UC. Цепь имеет индуктивный характер, но общий ток i отстаёт от напряжения uDF меньше, чем на 90◦.

Поскольку векторы, исходящие из начала координат комплексной плоскости, являются графическими изображениями комплексных величин, для расчёта RLC-цепей удобно использовать символический метод, называемый методом комплексных амплитуд.

1.3.2.2. Каждое комплексное число и изображающий его вектор U на комплексной плоскости характеризуются или длиной (модулем) Um и углом (аргументом) φ, или двумя взаимно перпендикулярными составляющими и j , являющимися проекциями этого вектора на веществен-

Переход от показательной формы к алгебраической осуществляется через тригонометрическую форму:

= Um cos φ; = Um sin φ:

Переход от алгебраической формы к показательной осуществляется по теореме Пифагора и через арктангенс угла:

Если комплексные числа нужно складывать или вычитать, то следует использовать алгебраическую форму, а если их нужно перемножать или делить, — то показательную. Примеры:

( 3 + j2) + (5 + j2) = ( 3 + 5) + j(2 + 2) = 2 + j4; (2 + j4) (5 + j2) = (2 5) + j(4 2) = 3 + j2;

Полярная форма U̸ φ в теории электрических цепей обычно не используется.

1.3.2.3. Уравнения, описывающие процессы в электрических RLC-цепях при гармонических воздействиях, являются интегро-диф- ференциальными, так как мгновенные токи и напряжения на ёмкостях и индуктивностях связаны между собой через производные и интегралы. Для упрощения расчётов токов применяют следующий приём. Переходят от оригинальных цепей и сигналов к их изображениям. При этом уравнения превращаются в алгебраические (процесс их решения значительно проще). Полученные решения, т. е. изображения искомых величин, переводят обратно в область оригиналов.

Переход от оригиналов к изображениям можно осуществить при помощи преобразования Фурье

∫ 1

При таком преобразовании функции времени переходят в функции частоты. Можно показать, что при переходе от оригиналов к изображениям (с помощью преобразования Фурье) происходит следующее:

постоянные величины R, L и C остаются неизменными;

мгновенные токи, напряжения и ЭДС заменяются соответствующими комплексными величинами;

символы производных переходят в множители j!;

символы интегралов переходят в множители 1=j!.

На этом основании вместо непосредственного применения преобразования (1.15) можно производить вышеописанные замены. Выпол-

между узлами ветви, приведённой на рис. 1.37,a:

()

U = Umej(!t+φ) = Umejφej!t:

Величину Umejφ называют комплексной амплитудой. Она изображается на комплексной плоскости неподвижным вектором. Однако умножение её на ej!t приводит к равномерному вращению получающегося вектора U против часовой стрелки с угловой частотой !, так как время t является равномерно нарастающей величиной (рис. 1.39).

Рис. 1.39. Интерпретация изображения гармонического сигнала как вращающегося вектора

Заметьте, что умножение комплексной величины на j приводит к повороту соответствующего вектора на 90◦ против часовой стрелки.

Вектор, соответствующий комплексной амплитуде, отражает положение вращающегося вектора U в нулевой момент времени. Если мгновенные ЭДС всех источников напряжения и мгновенные токи всех источников тока в цепи изменяются по гармоническим законам с одинаковыми частотами, то все векторы напряжений и токов в этой цепи вращаются с одной и той же частотой, а углы между ними сохраняются неизменными во времени. Поэтому при расчётах можно использовать лишь комплексные амплитуды , а временн´ую зависимость вводить в последний момент при переводе полученных результатов в оригиналы. Оригиналы рассчитанных токов и напряжений соответствуют проекциям вращающихся векторов на координатные оси (см. рис. 1.39). Например, для результирующей комплексной амплитуды напряжения оригинал может быть выражен так :

Re (U) = Re (Umej(!t+φ)) = Um cos(!t + φ)

или так:

Im (U) = Im (Umej(!t+φ)) = Um sin(!t + φ):

Резюмируя вышеизложенное, приходим к следующей последовательности действий при расчёте ARC-цепи, находящейся под гармоническим воздействием:

1. Составляют эквивалентную схему для заданной цепи, производя замену элементов исходной цепи в соответствии с табл. 1.4.

Отсюда и название метода расчёта — метод комплексных амплитуд.

Здесь операции Re и Im означают выделение вещественной и мнимой (без символа j) частей из комплексных величин, заключённых в скобки.

рис. 1.40, для случая, когда между точками M и N действует напряжение u = 170 cos !t В.

Будем вести расчёт в амплитудных значениях. Выражение комплексного входного напряжения имеет вид: UmMN = 170ej0 = 170 В. Рассчитываем ток в общей ветви

1.3.2.6. Баланс мощностей, проводимый для проверки правильности расчёта токов в ветвях электрических цепей с накопителями энергии, базируется на понятии комплексной мощности. Комплексная мощность определяется так:

Здесь φ = φu φi — угол сдвига фаз между напряжением и током; I — сопряжённый комплекс тока ; S = UI — полная мощность в вольт-амперах (В А); P = Re (S) = Re (UI ) = UI cos φ — резистивная (активная) мощность в ваттах (Вт); Q = Im (S) = Im (UI ) = = UI sin φ — реактивная мощность в вольт-амперах реактивных

Векторная диаграмма и временные´ зависимости токов в ветвях заданной цепи приведены на рис. 1.44.

Проверим баланс комплексных мощностей при помощи системы Mathcad :

Баланс сходится с допустимой точностью: процент расхождения

Следовательно, расчёт токов в ветвях выполнен верно. Резистивная

мощность равна 93,3 Вт, реактивная мощность равна 20,7 В Ар. Пол-

√

ная мощность равна 93;32 + 20;72 = 95;6 В A.

1.3.3. Вопросы для самопроверки

1. В каких элементах электрических цепей временные´ функции тока и напряжения совпадают с точностью до постоянного множителя

ив каких элементах не совпадают?

Здесь символом s помечены сопряжённые комплексы токов.

2.Какими аналитическими выражениями связаны токи и напряжения на элементах L, C и R?

3.Как определяются модули емкостного и индуктивного сопротивлений гармоническому сигналу?

4.В каких элементах токи опережают приложенное гармоническое напряжение и в каких элементах отстают от него?

5.На сколько градусов сдвинуты относительно друг друга гармонический ток и гармоническое напряжение в емкостном и индуктивном элементах?

6.Какова методика составления векторных диаграмм?

7.Какие электрические величины отображаются на комплексной плоскости вращающимися векторами и какие величины отображаются неподвижными векторами?

8.Какие формы представления комплексных чисел Вам известны и как перейти от одной формы к другой?

9.Каковы правила перехода от оригиналов электрических величин к их комплексным представлениям (изображениям)?

10.Какова методика расчёта токов в цепях с накопителями энергии при гармонических воздействиях?

11.Для чего и как составляют баланс мощностей в цепях, находящихся под гармоническими воздействиями?

12.Каковы допустимые нормы расхождения левой и правой части баланса мощностей при расчёте токов в ветвях RLC-цепей?

1.3.4. Задание для самостоятельных расчётов

1.3.4.1.Рассчитать значения токов в ветвях электрической цепи, приведённой на рис. 1.43,a, двумя методами: по законам Кирхгофа

иметодом наложения, приняв значения параметров элементов схемы, указанные в п. 1.3.2.7. Сравнить полученные значения токов со значениями, рассчитанными в п. 1.3.2.7.

1.3.4.2.Построить векторные диаграммы напряжений для двух отмеченных контуров в цепи, приведённой на рис. 1.43,b.

1.3.4.3.Рассчитать методом наложения значения токов в ветвях цепи, приведённой на рис. 1.43,a, при значениях параметров элемен-

тов схемы, отличающихся от указанных в п. 1.3.2.7 лишь одним зна- p

чением: e2 = 100 2 cos(2!t 30◦) B. Сделать вывод о том, что метод наложения является единственно приемлемым методом при расчёте токов в RLC-цепях с гармоническими воздействиями разных частот.

1.3.4.4.Рассчитать методом эквивалентного генератора ток только через резистор R3 в цепи, приведённой на рис. 1.43,a, при значениях параметров элементов, указанных в п. 1.3.2.7.

1.3.4.5.Рассчитать методом узловых потенциалов токи в ветвях электрической цепи, приведённой на рис. 1.45, при следующих значениях параметров элементов схемы: i = 1;3 cos !t A; e = 140 cos(!t +