TETs_Sobolev
.pdf
210 |
Г л а в а 6 |
спектр отражает значения амплитуд отдельных гармонических составляющих анализируемого сигнала.
6.1.6.5. Получить и занести в отчёт временн´ую зависимость, а также амплитудный и фазовый спектры напряжения, описанного выражением (6.2), для чего во введённое ранее выражение (6.10) добавить начальную фазу четвёртой гармоники φ = 180◦, т. е. заменить третье слагаемое в выражении (6.10) следующим выражением:
4 cos(2 4 106t + ): |
(6:11) |
Измерить с помощью бегунка начальную фазу четвёртой гармоники и убедиться в её совпадении с заданным значением. Заметить, что система выдаёт произвольные значения фаз отсутствующих гармоник (в данном примере третьей и пятой).
6.1.6.6.Получить и занести в отчёт три графика, соответствующих временн´ому и спектральному представлениям каждого из сигналов, описанных выражениями (6.3) и (6.4). В обоих случаях измерить
спомощью бегунка фазы всех гармоник и сравнить их с заданными в аналитических выражениях. Обратить внимание на то, как отражается в амплитудном и фазовом спектрах наличие постоянной составляющей сигнала.
6.1.6.7.Получить и занести в отчёт графики, соответствующие временн´ому и спектральному представлениям тока, описанного выражением (6.5). Сравнить экспериментально полученные значения амплитуд и фаз со значениями, полученными в процессе выполнения п. 6.1.3.2 предварительного расчёта.
6.1.6.8.Повторить эксперимент, описанный в предыдущем пункте, предварительно заменив выражение (6.5) выражением (6.6).
6.1.6.9.Сконструировать на рабочем поле редактора схему, представленную на рис. 6.6, описав ЭДС источников e1(t), e2(t) и e3(t)
Рис. 6.6. Схема, конструируемая на рабочем поле редактора для выполнения заданий по пп. 6.1.6.9 и 6.1.6.10
Спектральный анализ периодических сигналов |
211 |
выражениями (6.7), (6.8) и (6.11) соответственно. ЭДС источника постоянного напряжения v1 задать равной 15 B. Получить и занести в отчёт временные´ зависимости напряжений на трёх входах сумматора
ина его выходе.
6.1.6.10.Получить и занести в отчёт графики временн´ого и спектрального представлений напряжения на выходе сумматора и сравнить их с графиками, полученными при выполнении п. 6.1.6.5.
6.1.7. Методические указания
6.1.7.1.При выполнении данной работы в процессе создания электрической схемы на рабочем поле редактора в качестве источника сигнала следует использовать источник напряжения, задаваемого математической зависимостью (NFV).
6.1.7.2.Математическое выражение, описывающее зависимость напряжения источника, следует вводить в графу Value. После нажатия на клавишу OK это выражение будет воспринято системой MicroCap. Если длина окна Value для ввода математического выражения окажется недостаточной, то двойным щелчком на поле VALUE= следует увеличить это окно. После ввода выражения в расширенное окно нужно вернуться в режим короткого окна, нажав на клавишу OK, а затем нажать на клавишу OK в режиме короткого окна.
6.1.7.3.При вводе математического выражения в окно Value или VALUE следует пользоваться нотацией, принятой в большинстве алгоритмических языков. Например, выражение (6.6) нужно вводить
вследующем виде:
50 sin(2 pi 1e6 t 3 pi) 30 sin(2 pi 3e6 t + 2 pi 380=360) +20 cos(2 pi 4e6 t) 40 cos(2 pi 5e6 t 2 pi 280=360)
6.1.7.4.При конструировании схемы сумматора на рабочем поле источники входных (суммируемых) сигналов следует ориентировать положительными полюсами к земле с целью компенсации поворота фазы в сумматоре.
6.1.7.5.Получение графиков временн´ого и спектрального представлений сигналов производится в режиме Transient. Для получения графика временн´ой зависимости следует в поле X Expression соответствующей строки окна Transient Analysis Limits ввести букву T,
адля получения графика амплитудного или фазового спектра — букву F. Для получения временн´ого представления напряжения между первым узлом и землёй нужно в поле Y Expression ввести v(1), для получения графика амплитудного спектра этого напряжения нужно в указанное поле ввести HARM(v(1)), для получения графика фазового спектра следует ввести PHASE(FFT(v(1))).
212 |
|
|
|
|
Г л а в а 6 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.1 |
|
|
|
|
|
|
|
Пункт |
P |
X Expression |
Y Expression |
X Range |
|
Y Range |
|
|
|
|
|
|
|
6.1.6.1– |
1 |
T |
v(1) |
1e-6 |
|
10, -10 |
6.1.6.3 |
2 |
F |
HARM(v(1)) |
5e6 |
|
10, 0 |
6.1.6.4 |
1 |
T |
v(1) |
1e-6 |
|
20, -20 |
2 |
F |
HARM(v(1)) |
5e6 |
|
10, 0 |
|
|
|
|||||
|
1 |
T |
v(1) |
1e-6 |
|
20, -20 |
6.1.6.5 |
2 |
F |
HARM(v(1)) |
5e6 |
|
10, 0 |
|
3 |
F |
PHASE(FFT(v(1))) |
5e6 |
|
180, -180 |
|
1 |
T |
v(1) |
1e-6 |
|
25, -20 |
6.1.6.6 |
2 |
F |
HARM(v(1)) |
5e6 |
|
10, 0 |
|
3 |
F |
PHASE(FFT(v(1))) |
5e6 |
|
180, -180 |
|
1 |
T |
i(1,2) |
1e-6 |
|
60, -60 |
6.1.6.7 |
2 |
F |
HARM(i(1,2)) |
5e6 |
|
50, 0 |
|
3 |
F |
PHASE(FFT(i(1,2))) |
5e6 |
|
180, -180 |
|
1 |
T |
i(1,2) |
1e-6 |
|
120, -120 |
6.1.6.8 |
2 |
F |
HARM(i(1,2)) |
5e6 |
|
50, 0 |
|
3 |
F |
PHASE(FFT(i(1,2))) |
5e6 |
|
180, -180 |
|
1 |
T |
v(1) |
1e-6 |
|
16, -24 |
6.1.6.9 |
2 |
T |
v(5) |
1e-6 |
|
12, -18 |
3 |
T |
v(6) |
1e-6 |
|
6, -4 |
|
|
|
|||||
|
4 |
T |
v(3) |
1e-6 |
|
30, -20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
T |
v(3) |
1e-6 |
|
25, -15 |
6.1.6.10 |
2 |
F |
HARM(v(3)) |
5e6 |
|
10, 0 |
|
3 |
F |
PHASE(FFT(v(3))) |
5e6 |
|
180, -180 |
|
|
|
|
|
|
|
6.1.7.6.В процессе выполнения данной работы следует выключать опцию Auto Scale Ranges, а требуемые граничные значения диапазонов на осях выдаваемых графиков устанавливать в полях X Range и Y Range окна Transient Analysis Limits. Переход в ре-
жим расчёта и выдачи графиков осуществляется нажатием клавиши Run или клавиши 
.
6.1.7.7.Параметр Time Range нужно задавать равным 1u, параметр Maximum Time Step равным 0.1u. Остальные параметры процедуры анализа при выполнении экспериментов по каждому пункту следует задавать в соответствии с табл. 6.1.
6.1.7.8.Если нужно по графику спектра точно определить па-
раметры отдельной его составляющей, то в режиме любой нажатой
клавиши из 
следует установить курсор мыши на соответственную спектральную линию. При этом в окне бегунка отразятся значения параметров соответствующей составляющей (значения частоты и амплитуды или начальной фазы).
6.1.8. Графики
В результате выполнения работы должны быть получены графики, представленные на рис. 6.7–6.17.
Спектральный анализ периодических сигналов |
213 |
Рис. 6.7. Зависимости, полученные по заданию в п. 6.1.6.1
Рис. 6.8. Зависимости, полученные по заданию в п. 6.1.6.2
Рис. 6.9. Зависимости, полученные по заданию в п. 6.1.6.3
214 |
Г л а в а 6 |
Рис. 6.10. Зависимости, полученные по заданию в п. 6.1.6.4
Рис. 6.11. Зависимости, полученные по заданию в п. 6.1.6.5
Рис. 6.12. Зависимости, полученные по заданию в п. 6.1.6.6
Спектральный анализ периодических сигналов |
215 |
Рис. 6.13. Зависимости, полученные по заданию в п. 6.1.6.6
Рис. 6.14. Зависимости, полученные по заданию в п. 6.1.6.7
Рис. 6.15. Зависимости, полученные по заданию в п. 6.1.6.8
216 |
Г л а в а 6 |
Рис. 6.16. Зависимости, полученные по заданию в п. 6.1.6.9
Рис. 6.17. Зависимости, полученные по заданию в п. 6.1.6.10
6.2. Исследование спектра последовательности прямоугольных импульсов
6.2.1. Цели изучения
1.Ознакомление с методикой спектрального анализа периодических сигналов.
2.Исследование формы огибающей амплитудного спектра последовательности прямоугольных импульсов.
3.Изучение влияния длительности импульсов, периода их повторения и скважности на форму огибающей амплитудного спектра.
4.Изучение влияния временн´ого сдвига сигнала на его фазовый спектр.
Спектральный анализ периодических сигналов |
217 |
6.2.2. Основные теоретические положения
6.2.2.1. Любую периодическую функцию f(t), удовлетворяющую условиям Дирихле , можно представить в виде ряда Фурье:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
∑ |
|
|
f(t) = |
|
|
+ (ak cos k!1t + bk sin k!1t); |
(6:12) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a |
1 |
|
|
t0+T |
|
||||||
|
0 |
= |
|
|
|
|
|
|
∫t0 |
f(t) dt; |
(6:13) |
|
2 |
|
|
T |
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
t0+T |
|
|||
ak = |
|
|
|
|
∫t0 |
f(t) cos k!1t dt; |
(6:14) |
|||||
|
T |
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
t0+T |
|
||||
bk = |
|
|
∫t0 |
f(t) sin k!1t dt; k = 1;2;3::: |
(6:15) |
|||||||
T |
||||||||||||
Здесь t0 — произвольный момент времени (обычно принимают t0 = 0); T — период функции; k — номер коэффициента разложения (номер гармонической составляющей); !1 = 2 =T — основная частота (частота первой гармонической составляющей); !k = k!1 — частоты высших гармонических составляющих (k = 2; 3; 4:::).
Заменяя каждую пару тригонометрических функций, заключённых в скобки в выражении (6.12), одной тригонометрической функцией, получаем другую форму записи ряда Фурье:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
∑ |
|
|
||||
f(t) = |
|
+ |
ck cos(k!1t + |
k); |
(6:16) |
||||
2 |
|
k=1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
где |
ck = √ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
; |
|
|
||
|
|
ak2 + bk2 |
|
(6:17) |
|||||
|
|
k |
= arctg |
bk |
: |
|
(6:18) |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ak |
|
|
||
Изменение значения t0 не приводит к изменению значений амп- |
|||||||||
литуд ck. Меняются лишь значения фаз k |
гармонических состав- |
||||||||
ляющих. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия Дирихле: интервал, на котором функция определена, может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых она непрерывна и монотонна. Во всякой точке разрыва существуют f(t 0) и f(t+ + 0). Физически реализуемые электрические сигналы u(t) и i(t) удовлетворяют этим условиям.
218 |
Г л а в а 6 |
Совокупность значений ck представляет спектр амплитуд, сово- |
|
купность значений |
k — спектр фаз. Как видим, периодические сиг- |
налы имеют дискретные спектры.
Итак, любой периодический сигнал может быть представлен в виде суммы постоянной составляющей a0=2 и гармонических составляющих (гармоник) с амплитудами ck, частотами !k и начальными фазами k.
6.2.2.2. Вышесказанное подтверждает тот факт, что существуют две формы представления сигналов: временн´ая и частотная. Временн´ая форма соответствует аналитическому выражению в виде функции от t, частотная — совокупности значений амплитуд, частот и фаз тех гармонических составляющих, на которые можно разложить данный сигнал. Зная описание сигнала в одной форме, можно получить его описание в другой форме, используя формулы (6.12)–(6.18).
6.2.2.3. Определим амплитудный спектр бесконечной последовательности прямоугольных импульсов, представленной на рис. 6.18. Аналитическое описание одного периода та-
кой последовательности имеет вид
{
Um; 0 < t 6 tи; 0; tи < t 6 T .
Выведем зависимость постоянной составляющей от значений параметров импульсной последовательности (максимального значения сигнала Um, длительности импульса tи и пери-
ода повторения T ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
1 |
|
T |
1 |
tи |
|
t |
|
tи |
|
t |
|||
U0 = 20 = |
T ∫0 |
u(t) dt = |
T |
∫0 |
Um dt = Um T |
0 |
|
= Um Tи : |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tи правомерна, |
|||
Замена верхнего предела интегрирования T пределом |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как при tи < t 6 T подынтегральная функция u(t) равна нулю.
|
Выведем аналогичные зависимости для косинусных и синусных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициентов разложения в ряд Фурье: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
tи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
tи |
|
2Um |
|
||||||||
ak = |
|
|
|
|
t |
|
Um cos k!1t dt = T Um k!1 |
|
|
|
|
|
t |
= k!1T sin k!1tи; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
T ∫0 |
|
|
sin k!1t 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k = |
2 |
|
∫0 |
|
и |
|
m sin |
|
1 |
|
|
= |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
и |
|||||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
m k!1 cos |
|
1 |
|
0 |
= |
|
|
||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
k! t dt |
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
k! |
t |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2Um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
(cos k!1tи |
|
1) = |
|
|
|
(1 |
|
|
cos k!1tи): |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
k! T |
|
|
k! T |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Определим амплитуды гармонических составляющих: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Umk = √ak2 + bk2 |
= |
|
√sin2 k!1tи + (1 |
|
|
cos k!1tи)2 = |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
k!1T |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Спектральный анализ периодических сигналов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
219 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2Um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
√sin2 k!1tи + 1 |
|
|
2 cos k!1tи + cos2 k!1tи = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
k!1T |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2Um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√2 2 sin2 |
|
k!1tи |
|
|
||||||||||||
|
= |
|
|
√2 |
|
|
|
2 cos k!1tи = |
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
k!1T |
|
|
|
|
k!1T |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k!1tи |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4Um |
|
|
k!1tи |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
(6:19) |
||||||||||
|
|
k!1T |
|
|
2 |
|
|
|
|
T |
|
|
k!1tи |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Запишем выражение для фазового спектра заданного сигнала: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k = arctg |
bk |
= arctg |
1 |
|
|
cos k!1tи |
: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak |
|
|
|
|
|
|
sin k!1tи |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Теперь выражение для u(t) можно записать так: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
u(t) = U0 + |
Umk cos(k!1t + |
k) = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
tи |
1 |
|
|
|
tи |
|
k!1tи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
cos k!1tи |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Um |
|
+ 2Um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos k!1t + arctg |
|
|
|
|
|
: |
|||||||||||||||||
T |
T |
|
|
|
k!1tи |
|
|
|
|
sin k!1tи |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2
6.2.2.4. Из выражения (6.19) для Umk следует, что огибающая амплитудного спектра последовательности прямоугольных импульсов описывается функцией вида j sin !j=!. Она изображена на рис. 6.19 пунктиром. График спектра имеет линейчатый характер. Отдельные составляющие графика амплитудного спектра вписываются в график его огибающей. Частота первой составляющей !1 и частотное расстояние между соседними составляющими ∆! определяются периодом повторения T :
2 !1 = ∆! = T :
Рис. 6.19. Амплитудный спектр последовательности прямоугольных импульсов