TETs_Sobolev

Рис. 6.50. Зависимости, полученные по заданию в п. 6.3.6.13

6.4. Связь ВАХ нелинейного элемента с амплитудным спектром тока, порождённого гармоническим напряжением

6.4.1. Цели изучения

1.Ознакомление с нелинейными элементами электрических цепей, их свойствами и вольт-амперными характеристиками.

2.Ознакомление с принципом расчёта амплитуд гармонических составляющих тока при известном описании вольт-амперной характеристики нелинейного элемента, находящегося под воздействием гармонического напряжения.

3.Ознакомление с принципом получения математического описания вольт-амперной характеристики нелинейного элемента по известным амплитудам гармоник тока и амплитуде воздействующего гармонического напряжения.

6.4.2. Основные теоретические положения

6.4.2.1. Функция, связывающая напряжение на двухполюсном элементе с током, протекающим через этот элемент, называется вольтамперной характеристикой (ВАХ). Если ВАХ описывается уравнением первого порядка, т. е. её график имеет вид прямой линии, то элемент называется линейным. В противном случае элемент нелинейный. На рис. 6.51,a изображена ВАХ линейного элемента, на рис. 6.51,b — ВАХ нелинейного элемента. Там же приведены обозначения упомянутых элементов и показан принцип построения графиков тока по заданным ВАХ при воздействии гармонического напряжения.

Как видим, ток в линейном элементе, находящемся под воздействием гармонического напряжения, также является гармонической величиной, изменяющейся во времени с той же частотой, что и воздейс-

Рис. 6.51. ВАХ линейного (a) и нелинейного (b) элементов и принцип построения графика тока при гармоническом напряжении методом проекций

твующее напряжение (см. рис. 6.51,a). Ток в нелинейном элементе, возникающий под воздействием гармонического напряжения, является периодической, но не гармонической величиной (см. рис. 6.51,b). Следовательно, он состоит из нескольких гармонических составляющих.

Частоты новых гармонических составляющих k!1 (k = 2; 3; :::) кратны частоте !1 воздействующего напряжения. Например, напряжение u = Um cos !1t, приложенное к идеальному диоду, ВАХ которого представлена на рис. 6.52,a, порождает ток, изменяющийся во

Рис. 6.52. Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов

времени в соответствии с рис. 6.53,a. Он описывается следующим выражением:

При использовании диодного моста, ВАХ которого изображена на рис. 6.52,b, возникает ток, изменяющийся во времени в соответствии

Следовательно, в обоих случаях в токе возникают новые гармонические составляющие с частотами 0, 2!1, 4!1, 6!1; : : :.

Выражения (6.26) и (6.27) получены разложением в ряд Фурье

и

i(t) = Imj cos !1tj;

графики которых приведены на рис. 6.53,a и b соответственно.

В появлении новых гармонических составляющих в токе, протекающем через нелинейный элемент, можно убедиться и другим способом. Пусть, например, ВАХ нелинейного элемента описывается полиномом второго порядка i = a1u + a2u2, к элементу приложено напряжение u = Um sin !1t. Подставив выражение для напряжения u в

Рис. 6.53. Токи, возникающие в результате одно- (a) и двухполупериодного (b) выпрямления

гармоническая составляющая с удвоенной частотой 2!1.

6.4.2.2. Если нелинейный элемент находится под воздействием гармонического напряжения, то количество и состав гармоник тока, возникающего в нём, определяется видом полинома, описывающего ВАХ этого элемента. Например, если ВАХ описывается уравнением

i = a1u + a2u2 + a3u3 + a5u5;

то при гармоническом напряжении с частотой !1 ток содержит гармоники с частотами !1; !2; !3 и !5. Если ВАХ описывается уравнением

i = a1u + a3u3 + a4u4;

то ток содержит гармоники с частотами !1; !2; !3; !4. В любом случае номер наивысшей гармоники тока совпадает с порядком полинома, описывающего ВАХ.

Вольт-амперные характеристики реальных нелинейных элементов таковы, что амплитуды гармоник тока имеют общую тенденцию к уменьшению своих значений c увеличением их номера. Поэтому при математическом описании ВАХ обычно ограничиваются членом пятого порядка. В этом случае амплитуды гармонических составляющих тока Imk связаны с коэффициентами полинома ak следующим образом:

где Um — амплитуда воздействующего гармонического напряжения. Как видим, амплитуды гармоник с нечётными номерами определяются только членами полинома ВАХ с нечётными степенями, а амплитуды чётных гармоник — членами полинома с чётными степенями.

6.4.2.3.Если график ВАХ обладает центральной симметрией, то полином содержит члены только нечётных степеней. Следовательно, ток содержит только нечётные гармоники. Поэтому график временн´ой зависимости тока симметричен относительно горизонтальной оси по отношению к своей копии, сдвинутой на половину периода.

Если ВАХ обладает осевой симметрией относительно оси тока, то полином содержит только чётные степени. Следовательно, ток содержит только чётные гармоники. Поэтому график временн´ой зависимости тока совпадает со своей копией, сдвинутой на половину периода.

Если ВАХ не обладает ни центральной, ни осевой симметрией, то полином содержит члены как чётных, так и нечётных степеней. Следовательно, ток содержит как чётные, так и нечётные гармоники. Поэтому график временн´ой зависимости тока не симметричен относительно горизонтальной оси по отношению к своей копии, сдвинутой на половину периода, и не совпадает с ней.

Справедливы и обратные утверждения, позволяющие по виду временных´ зависимостей тока судить о составе его спектра.

6.4.2.4.Зная амплитуды гармоник тока и амплитуду воздействующего гармонического напряжения, можно составить аналитическое выражение, описывающее ВАХ, определив коэффициенты соответствующего полинома следующим образом:

Задание для предварительного расчёта

6.4.3.1.Методом проекций, пояснённым на рис. 6.51, построить график тока, протекающего через нелинейный элемент, ВАХ которого изображена на рис. 6.52,v, при напряжении на элементе u =

=2 cos(!1t) B.

6.4.3.2.Воспользовавшись формулами (6.26) и (6.27), построить

графики амплитудных спектров для токов, протекающих через нелинейные элементы, ВАХ которых изображены на рис. 6.52,a и b, при напряжении на каждом из элементов u = 100 sin(!1t) B.

6.4.3.3. Воспользовавшись формулами (6.28), рассчитать значения амплитуд гармонических составляющих тока, протекающего через нелинейный элемент, ВАХ которого описывается выражением

при воздействующем напряжении u = 0;5 sin !t B. Построить график амплитудного спектра тока. Результаты расчёта занести в табл. 6.9.

Воспользовавшись полученными значениями амплитуд гармонических составляющих тока, рассчитать по формулам (6.29) значения коэффициентов аппроксимирующего полинома и сравнить их с исходными значениями, указанными в табл. 6.10 и в выражении (6.30). Полученные значения занести в табл. 6.10.

6.4.4. Вопросы для самопроверки

1.Что такое вольт-амперная характеристика?

2.Чем отличаются графики ВАХ линейного и нелинейного элементов?

3.Чем отличаются временные´ зависимости токов, возникающих под воздействием гармонического напряжения в линейных и нелинейных сопротивлениях?

4.Чем определяется номер наивысшей гармоники тока в нелинейном элементе, находящемся под воздействием гармонического напряжения?

5.Как связаны значения амплитуд гармонических составляющих тока в нелинейном элементе, находящемся под воздействием гармонического напряжения, с коэффициентами полинома, описывающего ВАХ этого элемента?

6.Какие гармоники тока возникнут в нелинейном элементе под воздействием гармонического напряжения, если ВАХ этого элемента описывается следующим выражением: i = a1u + a5u5?

7.Какие гармоники тока возникают в нелинейном элементе под воздействием гармонического напряжения, если ВАХ этого элемента содержит члены только с чётными или только с нечётными степенями?

6.4.5. Задание для самостоятельного выполнения экспериментов на персональном компьютере

6.4.5.1.Получить экспериментальное подтверждение закономерностей, связывающих вид полинома, описывающего ВАХ нелинейного элемента, со спектральным составом тока, возникающего в нём под воздействием гармонического напряжения.

6.4.5.2.Ознакомиться с принципом получения аналитического выражения ВАХ нелинейного элемента по спектральному составу тока, протекающего под воздействием приложенного гармонического напряжения.

6.4.6. Порядок выполнения экспериментов

6.4.6.1. Сконструировать на рабочем поле редактора схему, изображённую на рис. 6.54. Последовательно задавая ток источника в виде следующих выражений:

i= 0;7u + 0;3u2;

i= 0;7u + 0;3u2 + 0;8u3;

i= 0;7u + 0;3u2 + 0;8u3 + 2u4;

i= 0;7u + 0;3u2 + 0;8u3 + 2u4 + 0;7u5;

где u = sin(2 106t) B, получить и занести в отчёт графики временных´ зависимостей тока и его амплитудные спектры. Сделать вывод о том, как влияет порядок полинома, описывающего ВАХ, на номер наивысшей гармоники тока.

6.4.6.2. Повторить эксперимент, описанный в предыдущем пункте, последовательно задавая ток источника в виде следующих выражений:

i = 0;7u + 0;8u3 + 0;7u5 и i = 0;3u2 + 2u4:

Сделать вывод о том, как влияет наличие членов только чётных и только нечётных степеней в полиноме, описывающем ВАХ, на спектральный состав тока и форму графика i(t).

6.4.6.3. Задать ток источника в соответствии с выражением (6.30). Получить и занести в отчёт графики временн´ой зависимости и амплитудного спектра тока, возникающего под воздействием напряжения u = 0;5 sin(2 106t) B. Значения амплитуд спектральных

Рис. 6.54. Схема, конструируемая на рабочем поле редактора для выполнения заданий по пп. 6.4.6.1–6.4.6.3

составляющих занести в табл. 6.9. Рассчитать по формулам (29) значения коэффициентов аппроксимирующего полинома и занести их в табл. 6.10, сравнив со значениями, вычисленными в процессе предварительного расчёта, и с коэффициентами в выражении (6.30).

нелинейном элементе и тока, протекающего через него, а также график амплитудного спектра этого тока. Амплитуды гармоник тока занести в табл. 6.9. Рассчитать значения коэффициентов аппроксимирующего полинома и занести их в табл. 6.10. Записать в отчёте аналитическое выражение для ВАХ исследованного нелинейного элемента.

6.4.6.5.Используя полученное выражение ВАХ, рассчитать мгновенные значения тока, протекающего через нелинейный элемент, при значениях напряжения, приведённых в табл. 6.11. Результаты расчёта занести в ту же таблицу. Построить ВАХ исследуемого элемента.

6.4.6.6.Повторить эксперимент и расчёты, описанные в пп. 6.4.6.4

и6.4.6.5, задав другие значения сопротивлений резисторов: R1 = = R2 = 1 Ом. Полученные графики занести в отчёт. Результаты расчётов занести в табл. 6.9–6.11. В отчёте объяснить причину изменения спектрального состава тока.

6.4.7. Методические указания

6.4.7.1. При выполнении данной работы следует снимать опцию Auto Scale Ranges, а требуемые граничные значения диапазонов на