TETs_Sobolev

Рис. 4.38. Зависимость, полученная по заданию в п. 4.2.6.11

4.3. Исследование переходных процессов в неразветвлённых цепях второго порядка

4.3.1. Цели изучения

1. Ознакомление с принципами расчёта переходного процесса в неразветвлённой RLC-цепи.

2. Исследование влияния параметров элементов неразветвлённой RLC-цепи на скорость и характер протекания переходного процесса.

Его решением является сумма вынужденной и свободной составляющих:

uC(t) = uCвын(t) + uCсв(t):

144 Г л а в а 4

Для нахождения uCвын положим производные равными нулю. Получим

Известно, что решение такого уравнения имеет вид

uCсв = A1ep1t + A2ep2t;

где p1 и p2 — корни характеристического уравнения

Для нахождения постоянных интегрирования A1 и A2 воспользуемся законами коммутации, на основании которых для момента t = 0

Имеем два разных вещественных отрицательных корня. График напряжения uC(t), рассчитанный по формуле (4.18) для этого случая, изображён на рис. 4.40,a. Напряжение на ёмкости с течением времени монотонно возрастает, стремясь к значению E. Этот режим называется апериодическим.

Рис. 4.40. Иллюстрация разных режимов работы неразветвлённой RLC-цепи при её подключении к источнику постоянного напряжения: а — апериодический режим (Q < 0;5); б — критический режим (Q = 0;5); в — колебательный режим (Q > 0;5); г — колебательный режим, идеальный контур (Q = 1)

4.3.2.3. Рассмотрим случай кратных корней, когда = ! (или p √ 0

R=(2L) = 1= LC, или R = 2 L=C, или R = 2 , или Q = 0;5). Подкоренное выражение в формуле (4.16) равно нулю. Имеем два одинаковых отрицательных вещественных корня p1;2 = . Выражение для uC(t) в рассматриваемом режиме можно получить из (4.18) предельным переходом при p2 ! p1. Второе слагаемое в выражении (4.18) при p1 = p2 даёт неопределённость вида 0=0, которую можно раскрыть по правилу Лопиталя:

График напряжения uC(t) для рассматриваемого режима, рассчитанный по формуле (4.19), приведён на рис. 4.40,b. Как видим, напряжение на ёмкости также монотонно возрастает, стремясь к значению E. Этот режим называется критическим, т. е. промежуточным между ранее описанным апериодическим и ниже описанным колебательном режимом. Можно показать, что переходный процесс в критическом режиме протекает быстрее, чем в апериодическом режиме.

4.3.2.4. Рассмотрим случай малых потерь, когда < !0 (или p

R=(2L) < 1= LC, или R < 2 L=C, или R < 2 , или Q > 0;5).

Обозначим отдельные части последнего выражения для u (t) в (4.18) через D, F и S, подставим в них выражения корней из (4.20) и

формуле (4.21), представлен на рис. 4.40,v. Как видим, напряжение на ёмкости осциллирует, приближаясь к установившемуся значению E. Этот режим называется колебательным. Модуль мнимой части

вается коэффициентом затухания. Он характеризует скорость уменьшения амплитуды свободных колебаний с течением времени. Максимальное значение напряжения на ёмкости не превышает удвоенной ЭДС источника.

Чем меньше коэффициент затухания , тем меньше частота свободных колебаний !св отличается от резонансной частоты !0. В идеальном контуре, т. е. в контуре без потерь (R = 0, Q = 1, = 0), корни p1;2 = j!св расположены на мнимой оси, !св = !0, амплитуда колебаний с течением времени не уменьшается, а остаётся постоянной

для разных значений резистивного сопротивления R при постоянных значениях параметров реактивных элементов L и C, представлено на рис. 4.41.

Рис. 4.42. Прохождение импульсного сигнала через RLC-цепь

4.3.2.6. Реакция линейной цепи на прямоугольный импульс является суммой реакций на каждый из двух разнесённых во времени равновеликих разнополярных скачков входного напряжения. Форма выходного импульса напряжения при различных значениях добротности цепи показана на рис. 4.42.

4.3.3. Задание для предварительного расчёта

4.3.3.1. Рассчитать значение резистивного сопротивления, при

котором в ненагруженном последовательном колебательном контуре, содержащем L = 50√мГн и C = 5 мкФ, имеет место критический режим (Rкритич = 2 L=C).

4.3.3.2. Рассчитать значения частоты свободных колебаний и коэффициента затухания в ненагруженном последовательном колебательном контуре для всех совокупностей значений параметров его элементов, указанных в табл. 4.4. Расчёт провести по формулам:

4.3.4. Вопросы для самопроверки

1.При каких условиях имеют место апериодический, критический и колебательный режимы?

2.Как влияет уменьшение резистивного сопротивления на форму графика uC(t) в неразветвлённой RLC-цепи, находящейся в апериодическом режиме?

3.Как располагаются корни характеристического уравнения на комплексной плоскости при апериодическом, критическом и колебательном режимах?

4.Как влияет уменьшение резистивного сопротивления в неразветвлённой RLC-цепи на расположение корней на комплексной плоскости при апериодическом и колебательном режимах?

5.Каким физическим величинам соответствуют модули вещественной и мнимой части корней характеристического уравнения?

6.В каком режиме возникают свободные колебания в RLC-цепи?

7.Что такое частота свободных колебаний и по какой формуле рассчитывается её значение?

8.Что такое коэффициент затухания и по какой формуле рассчитывается его значение?

9.Как изменяются значения коэффициента затухания и частоты свободных колебаний при увеличении добротности RLC-цепи?

10.В каком месте на комплексной плоскости располагаются корни характеристического уравнения идеального последовательного колебательного контура?

4.3.5. Задание для самостоятельного выполнения экспериментов на персональном компьютере

4.3.5.1.Проанализировать переходные процессы в неразветвлённой RLC-цепи.

4.3.5.2.Ознакомиться с разными режимами работы упомянутой

цепи.

4.3.5.3.Выяснить влияние значений параметров элементов схемы на скорость и характер протекания переходного процесса.

4.3.5.4.Ознакомиться с видами искажений импульсного сигнала, проходящего через неразветвлённую RLC-цепь.

4.3.6. Порядок выполнения экспериментов

4.3.6.1.Сконструировать на рабочем поле редактора цепь, изображённую на рис. 4.39, исключив из неё ключ K (т. е. заменив его проводом). Задать следующие значения параметров элементов схемы: E = 10 B, R = 250 Ом, L = 50 мГн, C = 5 мкФ. Получить

изанести в отчёт графики временных´ зависимостей напряжений на всех элементах схемы в переходном режиме.

4.3.6.2.Заменить значение R = 250 Ом значением R = 40 Ом и повторить эксперимент. Занести полученные графики в отчёт. Объяснить в отчёте, почему изменился характер зависимостей.

4.3.6.3.Включить режим Stepping для изменения значения резистивного сопротивления R от 0 до 350 Ом с шагом 50 Ом. Получить