- •Основные обозначения.
- •1. Элементарные сведения.
- •Контрольные задания
- •2. Комплексные числа.
- •555 Решение алгебраических уравнений.
- •3. Линейная алгебра. Матрицы и основные операции с ними.
- •Определители 2-го и 3-го порядка.
- •Решение систем линейных уравнений с помощью определителей.
- •Контрольные задания
- •4. Аналитическая геометрия. Системы координат на плоскости и в пространстве.
- •Векторы и линейные операции над ними.
- •Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
- •555 Прямая на плоскости и различные способы её задания.
- •555 Прямая и плоскость в пространстве и различные способы их задания.
- •555 Линии второго порядка.
- •555 Некоторые поверхности второго порядка.
- •Контрольные задания
- •5. Функции одного аргумента. Понятие функции и способы задания.
- •Предел функции и числовой последовательности.
- •Понятие числового и степенного ряда.
- •Непрерывность функции, точки разрыва.
- •Контрольные задания
- •6. Производная и дифференциал.
- •555 Приближенное решение уравнений.
- •Контрольные задания
- •7. Неопределенный интеграл.
- •Свойства неопределённых интегралов.
- •Контрольные задания
- •8. Определенный интеграл.
- •Приложения определённого интеграла:
- •9. Функции нескольких аргументов.
- •10. Дифференциальные уравнения.
- •Методы решения основных типов дифференциальных уравнений первого порядка.
- •11. Общая задача линейного программирования.
- •Контрольные задания
- •Приложение. Задачи для подготовки к экзамену.
- •Учебная литература.
Контрольные задания
Найти точки разрыва функции
13.1 y = 13.2 y =
13.3 y = |x-5|(x+2) 13.4 y = ln|(x-5)(x-3)|
13.5 y = 13.6 y = log|(x-2)(x+5)|x
13.7 y = |x+3|(x+4) 13.8 y =
13.9 y = log|(x-4)(x+1)|x 13.10 y = log|(x+2)(x-3)|x
13.11 y = ln|(x-2)(x+5)| 13.12 y =
13.13 y = log|(x+2)(x+4)|x 13.14 y = tg(4x)-tg(4x)
13.15 y = |x-2|x+1 13.16 y = -tg(4x)+tg(2x)
13.17 y = ln|(x+4)(x-4)| 13.18 y =
13.19 y = -tg(5x)-tg(x) 13.20 y = log|(x+2)(x+5)|x
13.21 y = log|x+4||x+5| 13.22 y = ln|(x-1)(x+3)|
13.23 y = log|(x+5)(x+3)|x 13.24 y = tg(2x)-tg(4x)
13.25 y = |x-4|x-2 13.26 y = tg(3x)-tg(2x)
13.27 y = log|x+1||x-1| 13.28 y = ln|(x+5)(x+4)|
13.29 y = 13.30 y =
13.31 y = 13.32 y = |x-2|x+3
13.33 y = -tg(3x)-tg(x) 13.34 y = log|(x+3)(x+4)|x
13.35 y = log|x+5||x-3|
Найти пределы
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
14.8
14.9
14.10
14.11
14.12
14.13
14.14
14.15
14.16
14.17
14.18
14.19
14.20
14.21
14.22
14.23
14.24
14.25
14.26
14.27
14.28
14.29
14.30
14.31
14.32
14.33
14.34
14.35
6. Производная и дифференциал.
Производной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю:
Геометрический смысл - тангенс угла наклона касательной.
Дифференциалом функции называется выражение dy=y¢dx.
Правила дифференцирования и таблица производных.
Основные свойства производных (правила дифференцирования):
1) c¢=0
2) (y±z)¢=y¢±z¢
3) (yz)¢=y¢z+yz¢, в частности (cy)¢=cy¢
4) , в частности
5)
6) (f(g(x)))¢=f¢(g(x))g¢(x), в частности (f(ax+b))¢=af¢(ax+b)
Таблица производных:
x¢=1 (xn)¢=nxn-1, в частности
(ex)¢=ex (ax)¢=lnaax
(sinx)¢=cosx (cosx)¢=-sinx
Производные высших порядков.
При повторном дифференцировании производных получаются производные 2-го, 3-го, ... порядков. Они обозначаются так: y², y¢¢¢, yIV, и т.д., а в общем случае y(n)
Пример 1.
y=sin(x2) y¢=2xcos(x2) y²=2cos(x2)-4x2sin(x2)
666
Найти производную и дифференциал:
1. y = x3 - 3x + 1 Решение: y¢ = 3x2 - 3 Þ dy = (3x2 - 3)dx (используем свойства 2, 3, таблицу и определение дифференциала)
2. y = 3x- 2x2 + Указание
3. y = 2x + log2x 4. y = 3-x + x-3
5. y = xsinx + 2cosx 6. y = tg2x
7. y = 8. y =
9. y = arcsinx - arccosx 10. y = sin(x2)
11. y = x12. y = 2ln(2tgx)
Найти производную 2-го порядка:
13. y = arctgx 14. y = ln(x2 + 1)
15. y = cos16. y = sinx×lnx
555
Приложения производной.
Формула Лагранжа: если функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a,b], то $ сÏ(a,b), что f(b) - f(a) = (b - a)f¢(c).
Правило Лопиталя: если или, то
Если f¢(x)>0, то f(x) возрастает, а если f¢(x)<0, то f(x) убывает.
Если при переходе через точку x0 производная f¢(x) меняет знак, то в этой точке экстремум. Это оформляется например так:
- + + - - x min max на рисунке указаны знаки производной f¢(x) |
Если при переходе через точку x0 вторая производная f²(x) меняет знак, то в этой точке перегиб. Это оформляется например так:
- + + - - x Ç È È Ç Ç перегиб перегиб на рисунке указаны знаки второй производной f²(x) |
Общая схема исследования функций:
1) Находим область определения и множество значений.
2) Определяем чётность-нечётность, периодичность, точки пересечения с осями координат.
3) Находим асимптоты и точки пересечения с ними.
4) Находим производную и экстремумы.
5) Находим производную второго порядка и перегибы.
6) Находим особенности, не входящие в пункты 1¸6.
7) Строим график функции.
666
Найти предел:
17. Решение: (два раза применили правило Лопиталя и затем замечательный предел)
18. 19.
Найти экстремумы:
20. y = 5x3 - 15x Решение: y¢ = 15x2 - 15 15x2 - 15 = 0 x1,2=±1
+ - + x -1 1 max min |
Ответ: ymax = 10 при x = -1 ymin = -10 при x = 1 |
21. y = ln2×3-x + ln3×2x 22. y = cos2x + 4cosx
Найти точки перегиба:
23. y = x4 - 6x2 + 8 24. y =x3e-x
Исследовать функцию и построить график
25. y = 26. y = x
27. y = 28. y =