КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Н.М. Кащенко

МАТЕМАТИКА. ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ.

Калининград

2001

Пособие содержит основные теоретические сведения, необходимые для решения задач и задачи с разным уровнем их разбора. Большая часть контрольных заданий содержат по 35 вариантов задач и может быть использована для проведения как аудиторных так и домашних контрольных работ. Пособие рассчитано на проведение 30¸40 практических занятий, в том числе 7¸8 контрольных работ. Учебное пособие предназначено для студентов и преподавателей географических факультетов университетов.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Основные обозначения. 5

1. Элементарные сведения. 6

2. Комплексные числа. 9

Решение алгебраических уравнений. 11

Схема Горнера. 11

3. Линейная алгебра. 15

Матрицы и основные операции с ними. 15

Определители 2-го и 3-го порядка. 15

Решение систем линейных уравнений с помощью определителей.16

4. Аналитическая геометрия. 23

Системы координат на плоскости и в пространстве. 23

Векторы и линейные операции над ними. 23

Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. 24

Прямая на плоскости и различные способы её задания. 26

Прямая и плоскость в пространстве и различные способы их задания. 27

Линии второго порядка. 28

Некоторые поверхности второго порядка. 30

5. Функции одного аргумента. 37

Понятие функции и способы задания. 37

Предел функции и числовой последовательности. 37

Понятие числового и степенного ряда. 37

Непрерывность функции, точки разрыва. 40

6. Производная и дифференциал. 45

Правила дифференцирования и таблица производных. 45

Производные высших порядков. 45

Приложения производной. 46

Приближенное решение уравнений. 47

7. Неопределенный интеграл. 53

Свойства неопределённых интегралов. 53

Таблица неопределенных интегралов. 53

Интегрирование некоторых классов функций. 54

8. Определенный интеграл. 59

Свойства определенного интеграла. 59

Приложения определенного интеграла. 60

Несобственные интегралы. 61

Приближенное вычисление определенных интегралов. 62

9. Функции нескольких аргументов. 65

Частные производные и полный дифференциал функции

нескольких аргументов. 65

Экстремум функции нескольких аргументов. 66

Основные операции над скалярным и векторным полями. 66

Линейный регрессионный анализ. 67

Правила приближённых вычислений. 68

10. Дифференциальные уравнения. 75

Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка. 75

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. 76

Приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка. 76

11. Общая задача линейного программирования. 79

Приложение. Задачи для подготовки к экзамену. 82

Учебная литература. 83

Основные обозначения.

Теоретико-множественные обозначения:

Ù - и

Ú - или

Ø - не

Þ - следует, следовательно

Û - равносильно

$ - существует, найдётся

" - любой, для любого

Î - принадлежит; Ï - не принадлежит

Ì и Í - включение множеств строгое и нестрогое

´ - векторное произведение векторов и декартово (прямое) произведение множеств

M - делимость целых чисел нацело

/ - знак деления (альтернативное обозначение дробей)

Числовые системы:

натуральные числа N;

целые числа Z;

рациональные числа Q;

действительные числа R;

комплексные числа C.

При этом справедливо соотношение NÌZÌQÌRÌC.

1. Элементарные сведения.

Свойства модуля (абсолютной величины) действительных чисел:

|a|³0

|-a|=|a|

|ab|=|a||b|

|a+b|£|a|+|b| (неравенство треугольника для модуля)

|a-b|³|a|-|b| (следствие из неравенства треугольника)

Некоторые неравенства и равенства:

(ax+by)²£(a²+b²)(x²+y²) (ax+by+cz)²£(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)

(a+b+с)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

Знать наизусть
(a±b)2 = a2±2ab+b2 a2-b2 = (a-b)(a+b) (a±b)3 = a3±3a2b+3ab2±b3 a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)	|a+b| £ |a|+|b| |a-b| ³ |a|-|b|	logaab=b ( a>0, a¹1 ) ab+c=abac aca-c=1 (ab)c=acbc

Знать наизусть
sin(a+b) = sinacosb+cosasinb sin(a-b) = sinacosb-cosasinb sin(2a) = 2sinacosa cos(a+b) = cosacosb-sinasinb cos(a-b) = cosacosb+sinasinb cos(2a) = cos2a-sin2a sin(3a) = sina(3cos2a-sin2a) cos(3a) = cosa(cos2a-3sin2a)

Уметь воспроизводить
x	-a	900-a	900+a	1800-a	1800+a	2700-a	2700+a
sinx	-sina	cosa	cosa	sina	-sina	-cosa	-cosa
cosx	cosa	sina	-sina	-cosa	-cosa	-sina	sina
tgx	-tga	ctga	-ctga	-tga	tga	ctga	-ctga
ctgx	-ctga	tga	-tga	ctga	ctga	tga	-tga

Знать наизусть
x	00	300	450	600	900
sinx	0	1/2	Ö2/2	Ö3/2	1
cosx	1	Ö3/2	Ö2/2	1/2	0
tgx	0	1/Ö3	1	Ö3	¥
ctgx	¥	Ö3	1	1/Ö3	0

Контрольные задания

Вычислить:

1.1 cos(-465⁰) 1.2 cos285⁰ 1.3 cos(-375⁰)

1.4 tg(-285⁰) 1.5 ctg(-555⁰) 1.6 tg555⁰

1.7 ctg195⁰ 1.8 cos375⁰ 1.9 tg465⁰

1.10 ctg555⁰ 1.11 ctg(-465⁰) 1.12 sin(-285⁰)

1.13 ctg285⁰ 1.14 tg555⁰ 1.15 sin(-285⁰)

1.16 sin465⁰ 1.17 ctg555⁰ 1.18 ctg(-555⁰)

1.19 sin195⁰ 1.20 tg(-465⁰) 1.21 tg195⁰

1.22 cos375⁰ 1.23 tg465⁰ 1.24 sin(-195⁰)

1.25 sin285⁰ 1.26 ctg375⁰ 1.27 tg195⁰

1.28 cos195⁰ 1.29 tg375⁰ 1.30 ctg285⁰

1.31 ctg(-195⁰) 1.32 sin(-195⁰) 1.33 sin555⁰

1.34 cos(-195⁰) 1.35 tg555⁰

Упростить:

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.13

2.14

2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

2.20

2.21

2.22

2.23

2.24

2.25

2.26

2.27

2.28

2.29

2.30

2.31

2.32

2.33

2.34

2.35