4. Аналитическая геометрия. Системы координат на плоскости и в пространстве.

Прямолинейной системой координат на плоскости называется совокупность двух числовых осей с общим началом. Если масштабы на осях равны и оси перпендикулярны, то система координат называется прямоугольной декартовой. Обычно используется правая прямоугольная декартовая система координат. Любая точка на плоскости однозначно определяется парой своих координат и, наоборот, любая пара действительных чисел задаёт единственную точку на плоскости.

Прямолинейной системой координат в пространстве называется совокупность трёх числовых осей с общим началом, не лежащих в одной плоскости. Если масштабы на осях равны и оси перпендикулярны, то система координат называется прямоугольной декартовой. Обычно используется правая прямоугольная декартовая система координат. Любая точка в пространстве однозначно определяется тройкой своих координат и, наоборот, любая тройка действительных чисел задаёт единственную точку в пространстве.

Пусть даны две точки на плоскости A(x₁,y₁) и B(x₂,y₂). Тогда расстояние между ними вычисляется по формуле . Аналогично для двух точек в пространстве A(x₁,y₁,z₁) и B(x₂,y₂,z₂) расстояние между ними вычисляется по формуле .

Векторы и линейные операции над ними.

Вектором называется направленный отрезок. Обозначаются векторы тремя способами: a или . Два вектора равны, если их длины равны и они однонаправлены. Три вектораa b и c в пространстве называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. Координаты вектора равны разности координат конца и начала. Сумма и разность векторов определяются по правилу треугольника:

Сумма:	Разность:
a b a+b	a b-a b

Произведением вектора a на число l называется вектор, длина которого равна |l||a|, он однонаправлен с исходным если l>0 и противоположно направлен если l<0. Из определения суммы следуют правило параллелограмма для суммы двух векторов и правило многоугольника для суммы нескольких векторов:

Сумма двух векторов:	Сумма нескольких векторов (s):
a a+b b	s

Если даны координаты векторов, то координаты суммы равны сумме координат, координаты разности равны разности координат, а координаты произведения вектора на число равны произведению координат на это число.

Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется число равное произведению их длин на косинус угла между ними: a×b=abcos(a^b). Если известны координаты векторов, то в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости a×b=x_ax_b+y_ay_b, в пространстве a×b=x_ax_b+y_ay_b+z_az_b. Свойства скалярного произведения:

1) a×b = b×a 2) a×(b+c) = a×b + a×c 3) Если a^b, то a×b=0

Векторным произведением двух векторов a и b в пространстве называется вектор с длина которого равна произведению их длин на синус угла между ними: с=absin(a^b), он перпендикулярен векторам a и b и векторы a b и с образуют правую тройку. Этот вектор обозначается так: c=a´b Если известны координаты векторов, то в прямоугольной правой декартовой системе координат:

	i j k
a´b=	xa ya za
	xb yb zb

Свойства векторного произведения:

1) a´b = -b´a 2) a´(b+c) = a´b + a´c 3) Если a÷çb, то a´b=0

4) Для орт i, j, k справедливы соотношения i´j = k, j´k = i, k´i = j

Смешанным произведением трёх векторов a b и c в пространстве называется число abc=(a´b)×c. Если известны координаты векторов, то в прямоугольной правой декартовой системе координат

	xa ya za
abс=	xb yb zb
	xc yc zc

Свойства смешанного произведения:

1) abc = -acb = -bac = -cba 2) Если a b и c компланарны, то abc=0.

3) Если a b и c компланарны и a не параллелен b, то существуют числа a и b такие, что с=aa + bb (линейная связь). Эти числа вычисляются из условий: с´a=bb´a и с´b=aa´b.

Пример 1.

Даны векторы a(1;1;0), b(1;0;1), c(2;1;1).Являются ли они компланарными и если да, то найти линейную связь.

	1	1	0		i	j	k
abc=	1	0	1	=0 Þ, они компланарны. Находим a´b=	1	1	0	=i-j-k
	2	1	1		1	0	1

Аналогично c´b = i-j-k и c´a = -i+j+k. Отсюда получим a=1, b=1 Þ с=a+b

Ответ: a+b-c=0

666

Для векторов на плоскости a, b, c и числа l найти геометрически a + b,

a - c, la и a+b+c

1. a=(1; 2) b=(3; -4) c=(5; -2) l=-2

2. a=(4; -2) b=(5; 7) c=(-3; 4) l=0,5

Для векторов в пространстве a, b, c и числа l найти геометрически a + b,

a - c, la и a+b+c

3. a=(3; 1; 2) b=(3; 1; -4) c=(5; -2; 3) l=3

4. a=(4; -6; 2) b=(3; -4; 2) c=(-1; 5; -2) l=-0,5

Для векторов в пространстве a, b и c найти a ´ b, a ´ c, b ´ c, угол между a и b и смешанное произведение abc.

5. a=(1; 2; 3) b=(3; 2; 1) c=(1; 3; 2) ( cos(a^b) = a×b/(ab) )

6. a=(1; 0; -1) b=(0; -1; 1) c=(-1; 1; 0)

Для векторов в пространстве a, b и c убедиться, что они компланарны и найти линейную связь.

7. a=(5; 2; 3) b=(3; 2; -7) c=(11; 6; -11)

8. a=(5; -3; 4) b=(2; -1; 1) c=(-1; 1; -2)