- •Основные обозначения.
- •1. Элементарные сведения.
- •Контрольные задания
- •2. Комплексные числа.
- •555 Решение алгебраических уравнений.
- •3. Линейная алгебра. Матрицы и основные операции с ними.
- •Определители 2-го и 3-го порядка.
- •Решение систем линейных уравнений с помощью определителей.
- •Контрольные задания
- •4. Аналитическая геометрия. Системы координат на плоскости и в пространстве.
- •Векторы и линейные операции над ними.
- •Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
- •555 Прямая на плоскости и различные способы её задания.
- •555 Прямая и плоскость в пространстве и различные способы их задания.
- •555 Линии второго порядка.
- •555 Некоторые поверхности второго порядка.
- •Контрольные задания
- •5. Функции одного аргумента. Понятие функции и способы задания.
- •Предел функции и числовой последовательности.
- •Понятие числового и степенного ряда.
- •Непрерывность функции, точки разрыва.
- •Контрольные задания
- •6. Производная и дифференциал.
- •555 Приближенное решение уравнений.
- •Контрольные задания
- •7. Неопределенный интеграл.
- •Свойства неопределённых интегралов.
- •Контрольные задания
- •8. Определенный интеграл.
- •Приложения определённого интеграла:
- •9. Функции нескольких аргументов.
- •10. Дифференциальные уравнения.
- •Методы решения основных типов дифференциальных уравнений первого порядка.
- •11. Общая задача линейного программирования.
- •Контрольные задания
- •Приложение. Задачи для подготовки к экзамену.
- •Учебная литература.
Контрольные задания
В первом задании написать функцию, которая должна стоять в скобках, а во втором и третьем - найти интегралы
18.1
18.2
18.3
18.4
18.5
18.6
18.7
18.8
18.9
18.10
18.11
18.12
18.13
18.14
18.15
18.16
18.17
18.18
18.19
18.20
18.21
18.22
18.23
18.24
18.25
18.26
18.27
18.28
18.29
18.30
18.31
18.32
18.33
18.34
18.35
8. Определенный интеграл.
Пусть на отрезке [a;b] задана функция f(x). Разобьём отрезок на n частей точками a=x0<x1<x2<...<xn-1<xn=b. На каждой части возьмём точки h1, h2, h3, ... hn соответственно и составим сумму , или короче. Если существует предел этой суммы, когда длины всех частей стремятся к нулю, то он называется определённым интегралом от функцииf(x) на отрезке [a;b] и обозначается .Свойства определённого интеграла.
1) , где F(x) - первообразная для f(x) (формула Ньютона-Лейбница)
2)
3)
4) (интегрирование по частям)
5) , где a=j(a) и b=j(b) (замена переменной)
6)
7) если a<b и f(x)³0, то Þ если a<b и f(x)£g(x), то
8) если f(x) непрерывна на [a;b], то , где сÎ(a;b) (теорема о среднем)
Приложения определённого интеграла:
Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: x=a, x=b³a, y=f(x)³0, y=0 |
, или кратко |
Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: x=a, x=b³a, y=f(x), y=g(x)³f(x) | |
Площадь плоской фигуры в полярной системе координат, ограниченной линиями: j=a, j=b³a, r=r(j)³0 | |
Длина плоской линии, заданной параметрически: | |
Длина плоской линии, заданной уравнением: y=f(x), a£x£b | |
Длина плоской линии в полярной системе координат: r=r(j), a£j£b | |
Объём тела, полученного вращением фигуры 0£y£f(x), a£x£b вокруг оси Ox |
или кратко |
Аналогично вокруг оси Oy | |
Площадь поверхности, образованное вращением линии y=f(x), a£x£b вокруг оси Ox |
или кратко |
Аналогично вокруг оси Oy |
666
Вычислить площадь фигуры:
1. y = x2; y=x
Решение: x=x2 Þ x1=0, x2=1 S= |
2. y = x3 - x; y = 0 3. y = x5 - 9x3
4. r = j(p - j), 0£j£p 5. r =
Вычислить объём тела вращения:
6. y = x2; y2 = x вокруг оси Ox и Oy
7. y = x; y3 = x вокруг оси Ox и Oy
Вычислить длину линии:
8. 9y2 = 4x3, x£15 9. y = 0,5(ex + e-x), 0£x£ln2
10. x=1-cost, y=sint 11. r = e-j, 0£j£2p
12. x=cos3t, y=sin3t, 0£t£p/2 13. r = cosj, |j|£p/2
Вычислить площадь поверхности вращения:
14 y=, xÎ[-5;7] 15. y = 0,5(ex + e-x) xÎ[0;ln2]
555
Несобственные интегралы.
Если один из пределов интегрирования бесконечность, то интеграл называется несобственным интегралом первого рода и обозначается так:
Если подынтегральная функция в одной или нескольких точках отрезка [a;b] имеет разрыв, то интеграл называется несобственным интегралом второго рода и обозначается как обычный определённый интеграл.
666
Вычислить несобственные интегралы:
16. Решение:
17. 18.
19. 20.
555
Приближенное вычисление определенных интегралов.
Разобьём отрезок интегрирования на n равных частей точками x0, x1, x2, ..., xn: a=x0<x1<...<xn=b. Обозначим h=(b - a)/n.
Формула прямоугольников |
»h(f((x0+x1)/2)+f((x1+x2)/2)+...+f((xn-1+xn)/2)) |
Формула трапеций |
»h(f(x0)/2+f(x1)+f(x2)+...+f(xn-1)+f(xn)/2) |
Формула Симпсона (n - чётное) |
(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+...+4f(xn-1)+f(xn)) |
666
Вычислить приближённо с точностью до 0,001:
21. 22.
23. Указание: считать, что xx=1 при x=0
24. 25.
555
Выучить наизусть |
Определение определённого интеграла. Свойства определённого интеграла. Формулы приложений определённого интеграла. |
Ответы:
2. 0,5 3. 120,5 4. 5. 1 6. Ox: 0,3p; Oy: 0,3p
7. Ox: ; Oy:8. 42 9. 0,75 10.p 11. (1-e-2p)
12. 1,5 13. p 14. 43p 15. (0,9375 + ln2)p 17. p
18. 19. 0,5 20. -1
Контрольные задания
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
19.1 y=x2+x; y=2x 19.2 y=x2-x; y=2x
19.3 y=sinx; y=-sinx; 0£x£p 19.4 y=ex; y=1+(e-1)x
19.5 y=ex+e-x; y=e+e-1 19.6 y=x; x=y
19.7 y=; x= 19.8 y=x-x3; y=0
19.9 y2=(10-x)3; x=0 19.10 (10-y)3=x2; y=0
19.11 y2=(10-x)5; x=0 19.12 (10-y)5=x2; y=0
Найти длину линии:
20.1 20.2
20.3 y=ln(cosx); 0£x£p/3 20.4 y=ln(sinx); p/6£x£5p/6
20.5 r=e-j; |j|£ln2 20.6 r=cosj; |j|£p/2
20.7 r=sinj; 0£j£p 20.8 x=sint; y=cost; 0£t£p/2
20.9 x=1-sint; y=cost; 0£t£p/2 20.10 x=1-cost; y=sint; 0£t£p/2
20.11 x=1+sint; y=cost; 0£t£p/2 20.12 x=1+cost; y=sint; 0£t£p/2
Найти площадь поверхности вращения вокруг указанной оси:
21.1 вокруг ox y=5x+1, 0£x£1 21.2 вокруг ox y=5x-1, 1£x£3
21.3 вокруг ox y=-5x+1, -2£x£-1 21.4 вокруг ox y=-5x-1, -1£x£0
21.5 вокруг ox y2=x+1, -1£x£0 21.6 вокруг ox y2=x-1, 1£x£2
21.7 вокруг oy y=x2, 0£y£1 21.8 вокруг oy y=x2-1, -1£y£0
21.9 вокруг oy y=x2+1, 1£y£2 21.10 вокруг oy y=5x2, 0£y£20
21.11 вокруг oy y=x2-1, -1£y£3 21.12 вокруг oy y=7x2, 0£y£7
Найти объём тела вращения вокруг указанной оси:
22.1 вокруг ox y=sinx; 0£x£p 22.2 вокруг ox y=cosx; 0£x£p
22.3 вокруг ox y=tgx; 0£x£p/4 22.4 вокруг ox y=ctgx; p/4£x£p/2
22.5 вокруг ox y=sinx+cosx; 0£x£p 22.6 вокруг oy x=siny; 0£y£p
22.7 вокруг oy x=cosy; 0£y£p 22.8 вокруг oy x=tgy; 0£y£p/4
22.9 вокруг oy x=ctgy; p/4£y£p/2 22.10 вокруг oy x=siny+cosy; 0£y£p
22.11 вокруг oy x=tgy+ctgy; p/6£y£p/3
22.12 вокруг oy x=siny-cosy; 0£y£p
Вычислить с точностью 0,0001 по формуле Симпсона:
23.1 23.2 23.3
23.4 23.5 23.6
23.7 23.8 23.9
23.10 23.11 23.12
23.13 23.14 23.15
23.16 23.17 23.18
23.19 23.20 23.21
23.22 23.23 23.24
23.25 23.26 23.27
23.28 23.29 23.30
23.31 23.32 23.33
23.34 23.35