5. Функции одного аргумента. Понятие функции и способы задания.

Функцией называется соответствие между двумя числовыми множествами при котором каждому элементу первого множества (область определения) соответствует единственный элемент второго множества (множество значений). Символически это записывается так: f:A®B. Здесь f - функция, A - область определения, B - множество значений. Более привычная запись y = f(x). Функции могут быть заданы формулами, таблицами или графиками.

Предел функции и числовой последовательности.

Частный случай функции - последовательность. Последовательность это функция, у которой область определения N. Обозначения последовательностей: (a₁,a₂,a₃,...,a_n,...) или a₁,a₂,a₃,...,a_n,... или (a_n) или a_n. Число A называется пределом последовательности a_n, если "e>0 $N>0 такое, что n>N Þ |a_n-A|<e. Это записывается так: .

Свойства предела последовательности:

1) 2)

3) 4)

5)6) Число е: .

Понятие числового и степенного ряда.

Обобщением конечной суммы на бесконечное число слагаемых является числовой ряд. Пусть дана последовательность: a₁,a₂,a₃,...,a_n,..., тогда формальная запись a₁+a₂+a₃+...+a_n+... или короче называется числовым рядом. ПустьS_n= a₁+a₂+a₃+...+a_n. Если существует , то говорят, что ряд сходится, а этот предел называется суммой ряда. Если ряд сходится, то (необходимый признак сходимости).

Примеры сходящихся рядов: .

Примеры расходящихся рядов: .

Признаки сходимости рядов:

1) Если 0£a_n£b_n и ряд расходится, то и рядрасходится.

2) Если 0£a_n£b_n и ряд сходится, то и рядсходится.

3) Если 0£a_n, 0£b_n и , то ряды иодновременно сходятся или расходятся.

4) если 0£a_n и , то ряд сходится

5) если 0£a_n и , то ряд сходится

6) если a_na_n+1<0 и |a_n+1|£|a_n|, то ряд сходится (признак Лагранжа)

Степенным называется ряд вида: , где a₀,a₁,a₂,...,a_n,... - числовая последовательность. Радиус сходимости степенного ряда R=, при этом при |x|<R ряд сходится, а при |x|>R расходится.

Пример 1. Найти радиус сходимости ряда .

Решение R=

666

Найти предел последовательности:

1. (разделили числитель и знаменатель на n)

2.

3. (умножить числитель и знаменатель на и разделить наn)

4. 5.

Выяснить сходимость ряда:

6. (применить признак сравнения с рядом)

7. 8.

9. 10.

Найти радиус сходимоси ряда:

11. 12.

13. 14.

555

Число F называется пределом функции f(x) при x стремящемся к a, если "e>0 $d>0 такое, что 0<|x-a|<d Þ |f(x)-F|<e.

Это записывается так:

Свойства предела функции:

1) 2)

3) 4)

5)

Замечательные пределы:

1) . 2)

3) 4) 5)

Непрерывность функции, точки разрыва.

Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если . Функция f(x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции называются точками разрыва.

Все элементарные функции непрерывны в их области определения. Отсюда следует правило вычисления предела: если можно подставить предельное значение, то подставляем его, иначе, если возможно, используем замечательные пределы, иначе преобразуем функцию так, чтобы стали применимы предыдущие способы.

666

Найти предел

15. (подставить предельное значение)

16.(разложить знаменатель на множители и сократить)

17.(домножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение)

18.(применить 1-й замечательный предел)

19. (применить 2-й замечательный предел)

20. (применить 3-й замечательный предел)

21. (применить 4-й замечательный предел)

22. (применить 5-й замечательный предел)

23. 24.25.

26.27.28.

29. 30.

555

Выучить наизусть
Определение предела последовательности Определение ряда Определение предела функции Правило вычисления предела

Ответы.

2. 1 3. 1.4 4. 2 7. расходится 8. сходится

9. сходится 10. сходится 11. 0,5 12. 1,5

13. 0 14. ¥ 15. 5/16 16. -1 17. 6 18. E

19. 7 20. -1/3 21. -3 22. 1/2 23. 1

24. 1/3 25. -8 26. -e² 27. 11 28. 1/2

29. 1/7 30. -1/2