_{Материалы к главе 2. Средние величины и измерение вариации}

Средние величины

Решение типовой задачи

_{Имеются данные о работе двух организаций:}

Организации	Выпуск продукции			Фактическая выработка продукции на одного рабочего, тыс. руб.
	По плану, тыс. руб.	Фактически, тыс. руб.	Процент выполнения плана
	П	Ф	В		Т
1	6000	6300	105,0		3,9
2	9000	9090	101,0		4,5

Требуется определить средние значения всех представленных в таблице признаков.

В рассматриваемом примере единицей совокупности является одно предприятие, поэтому среди представленных в таблице признаков первичными являются плановый и фактический объемы выпускаемой продукции. Следовательно, для расчета средней величины каждого из этих признаков требуется применить форму простой средней:

Средний объем планового выпуска продукции = Сумма планового выпуска продукции

_{всеми предприятиями/Число предприятий;}

П = _∑ i

= = 7500 тыс. руб.

_{Аналогично:}

^{− П} 6000 + 9000

_n 2

Средний объем фактического выпуска продукции = Сумма фактического выпуска продукции всеми предприятиями/Число предприятий;

Ф = _∑ i

= = 7695 тыс. руб.

^{− Ф} 6300 + 9090

_n ²

Следующий признак в таблице — процент выполнения плана — представляет собой относительную величину, рассчитанную по формуле:

Процент выполнения плана (В) = (Фактический выпуск продукции (Ф)/План выпуска

продукции (П)) × 100.

Среднее значение процента выполнения плана можно представить в виде отношения обобщенных значений тех же признаков, каждое их которых охватит всю изучаемую совокупность единиц.

Средний процент выполнения плана по совокупности предприятий = (Общий фактический объем продукции всех предприятий/Общий объем продукции всех

предприятий по плану) × 100.

Поскольку, как уже отмечалось, единицей совокупности в нашем примере является одно предприятие, выработка одного рабочего является вторичным признаком. Отсюда для расчета среднего значения выработки требуется применить формулу взвешенной средней. Исходными для такого расчета являются следующие соотношения:

^{Фактическая выработка одного рабочего ( Т} _i

= Общий фактический объем продукции

предприятия ( Ф_i )/Численность рабочих предприятия (Ч _i ).

В соответствии с рассмотренной выше методикой определения средней величины вторичного признака можно записать:

Средняя фактическая выработка одного рабочего = Фактический объем продукции,

произведенной двумя предприятиями/Численность рабочих двух предприятий:

−

_{Т =} ∑^Ф_{i .}

^∑Ч i

Для определения средней выработки одного рабочего необходимо предварительно вычислить численность рабочих, занятых на каждом предприятии. В соответствии с

_{исходными данными это возможно по формуле Ч =} ^Фi

ⁱ _Т

. Проведя необходимую

i

подстановку, получим следующее выражение искомой средней, которое соответствует форме средней гармонической взвешенной:

−

_{Т =} ∑^Ф_{i =} ∑^Ф_{i .}

∑^Ч i

_∑ ^Фi

^Т _i

_{Подставив в формулу числовые значения, получаем:}

⁻ _{6300 + 9090}

_{Т = =}

15 390

₌ ^{15 390 тыс. руб.} _{= 4, 2 тыс. руб.}

6300

₊ ⁹⁰⁹⁰

1615 + 2020 3635 чел.

3, 9 4, 5

Задачи

Задача 1

1. Оформите в виде таблицы следующие данные: по состоянию на 25.09.2006 г. на вторичном рынке жилья средняя стоимость 1 м² общей площади домов типа: сталинские, кирпичные, панельные по районам Санкт-Петербурга составляла соответственно следующую величину ($):

• Адмиралтейский — 1583, 1142, 1146.

• Василеостровский — 1503, 1252, 1214.

• Выборгский — 1320, 1213, 1232.

• Калининский — 1412, 1158, 1210.

2. Определите средние для учтенных районов показатели стоимости 1 м² общей площади домов типа: сталинские, кирпичные, панельные.

3. Сделайте выводы.

Задача 2

Имеются данные о реализации продукции предприятиями региона за отчетный год:

Вариант	Предприятие № 1			Предприятие № 2
	всего реализован о за отчетный год, млн руб.	в % к запланирован ному уровню	в % к уровню прошлого года	всего реализовано за отчетный год, млн руб.	в % к запланирова нному уровню	в % к уровню прошлого года
1	130,0	105,0	120,5	135	102	110,8
2	115	102	112,0	120	116	120,5
3	125	103	119,8	127	120	121,0
4	140	110	120,0	142	115	119,8
5	139	116	118,0	137	103	110,5
6	141	112	115,9	140	106	115,4
7	128	120	121,0	130	110	130,7

8	135	100	110,7	137	113	121,6
9	111	115	118,2	113	130	131,0

Требуется:

По данным вашего варианта задания определить средние по совокупности предприятий

значения всех показателей таблицы.

Задача 3

Имеются данные обследования размера каждого пятого вклада от населения в Сбербанке

_{на конец года:}

Размер вклада, руб.	Число вкладов
до 3000	60
3000–5000	90
5000–7000	160
7000–9000	50
9000 и выше	40

Требуется:

1. Определить средний размер вклада, моду и медиану.

2. Построить график распределения.

3. Сделать выводы.

Задача 4

Имеются данные о структуре банковской системы по субъектам одного федерального округа:

Субъект Федерации	Количество кредитных организаций	Количество филиалов региональных кредитных организаций	Количество филиалов кредитных организаций из других регионов
1	4	0	27
2	8	11	20
3	12	6	26
4	2	2	40
5	4	2	26
6	1	2	22
7	6	11	29
8	2	2	17
9	4	0	13
10	43	31	86

Требуется:

1. По каждому показателю таблицы определить моду и медиану.

2. Сделать выводы.

Задача 5

Распределение муниципальных образований области по вводу в действие жилых домов следующее:

Темп роста за первое полугодие, %	Число муниципальных образований
До 60	4
60–70	2
70–80	3
80–90	10

90и более 9

Требуется:

1. Построить график распределения.

2. Определить моду и медиану.

Вопросы для самоподготовки

1. Какова роль средних величин в обобщении данных статистического наблюдения?

2. Какие условия определяют выбор формы средней?

3. Каковы основные свойства средней арифметической?

4. Как вычисляется средняя арифметическая по сгруппированным данным?

5. Какие задачи решают структурные средние?

6. В чем состоят особенности расчета медианы на основе дискретных и интервальных рядов динамика?

7. Как определить моду на основе несгруппированных данных и на основе вариационных рядов распределения?

Тесты

Тест 1

Средняя величина, которая обобщает качественно однородные значения признака,

является:

а) многомерной средней;

б) типической средней;

в) структурной средней.

Тест 2

_{Общая формула средней арифметической взвешенной:}

а) ^k

^{∑ x} _;

k

n

б) ^k _∑ x ^k ;

_{∑ x} ^k

_в) ⁿ _;

n

_∑

_x ^k _f

_г)

∑ ^f

Тест 3

Для расчета среднего коэффициента роста используется формула:

а) средней квадратической;

б) средней хронологической;

в) средней геометрической; г) средней арифметической; д) средней гармонической; е) структурной средней.

Тест 4

Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической:

а) равна нулю;

б) меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины;

в) больше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины.

Тест 5

Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения:

а) всегда положительное число; б) всегда отрицательное число; в) равна нулю;

г) меньше, чем от любой другой величины.

Тест 6

Если значения частот в средней арифметической взвешенной увеличить в А раз, значение средней величины признака:

а) увеличится в А раз;

б) останется неизменным;

в) уменьшится в А раз.

Тест 7

Для значений признака: 10,5,6,7,6,11:

7.1) мода:

а) отсутствует;

б) равна 6;

в) равна 11.

7.2) медиана:

а) равна 6,5;

б) равна 7,5.

Тест 8

По итогам зимней сессии число студентов-отличников равно 6 человек. Если в студенческой группе 30 человек, то дисперсия доли студентов-отличников равна: а) 0,2;

б) 0,8;

в) 0,16.

Тест 9

Если все варианты признака уменьшить в одно и то же число раз, то среднее значение признака:

а) не изменится;

б) будет на столько же отличаться от среднего значения исходного показателя;

в) уменьшится во столько же раз.

Тест 10

Объем активов двух коммерческих банков равен соответственно 900 и 400 млн руб., прибыль, полученная за отчетный период, составила 90 и 80 млн руб. Средняя по двум банкам рентабельность активов:

а) 13,08%; б) 15,0%; в) 30,0%.

Тест 11

Могут ли совпадать средняя простая и средняя взвешенная?

а) не могут;

б) могут, если рассчитываются по однородным совокупностям;

в) могут при равенстве весов.

Тест 12

Средний размер вклада по счетам до востребования и по срочным счетам увеличился одинаково: в 2 раза. Удельные веса каждого вида вкладов уменьшились в 2 раза. Средняя величина вклада по всем счетам:

а) не изменится;

б) увеличится в 4 раза; в) уменьшится в 4 раза; г) возрастет в 2 раза;

д) уменьшится в 2 раза.

Тест 13

Продукция одного вида реализуется двумя торговыми организациями. Цена реализации первой торговой организации составляет 500 руб., второй организации — 550 руб. Какова средняя цена реализации данного товара, если на долю второй организации приходится

40% Реализуемых изделий?

а) 520 руб.; б) 525 руб.; в) 530 руб.

Тест 14

Изменится ли средняя цена продажи на рынке отечественных яблок (75 руб.) и импортных яблок (95 руб.), если объем продаж каждого вида яблок увеличится на 10%?

а) да, изменится;

б) нет, не изменится;

в) изменится, если изменятся цены.

Тест 15

_{Имеются следующие данные по двум предприятиям:}

Предприятия	Себестоимость единицы продукции, тыс. руб.	Общая сумма затрат на производство продукции, млн руб.
1	3,0	6,0
2	6,0	3,0

Определите средний по двум предприятиям уровень себестоимости продукции (тыс. руб.):

а) 3,6; б) 4,5; в) 4,0

Тест 16

Средняя арифметическая простая — это вид средней, которая используется, когда расчет осуществляется:

а) по несгруппированным данным;

б) на основе ряда распределения;

в) на основе первичных (объемных) показателей;

г) на основе вторичных (расчетных) показателей;

д) на основе первичных (объемных) показателей и удельного веса числа единиц каждой категории единиц в общем их числе.

Тест 17

Ранжированный ряд — это:

а) перечень единиц совокупности, расположенных в порядке возрастания или убывания значений признака;

б) ряд, в котором каждое значение варианта заменено соответствующим рангом показателя;

в) простейшая группировка, в которой каждая выделенная группа характеризуется одним показателем.

Тест 18

В регионе медианное значение суммы уставного капитала одного коммерческого банка —

170 млн руб.

Это означает, что:

а) большая часть коммерческих банков региона имеет эту сумму уставного капитала; б) половина коммерческих банков региона имеет сумму уставного капитала меньше, а половина больше, чем 170 млн руб.;

в) общий объем уставного капитала распределяется поровну между всеми коммерческими банками региона.

Тест 19

Какова медиана для следующих значений признака: 5, 5, 10, 12, 16, 18, 19?

а) 12; б) 5; в) 14;

г) мода отсутствует;

д) мода равна 5.

Тест 20

Значение медианы можно графически определить по:

а) столбиковой диаграмме;

б) кумуляте;

в) структурной диаграмме.

Тест 21

Если модальное значение признака меньше его средней величины, то это свидетельствует о:

а) правосторонней асимметрии;

б) левосторонней асимметрии;

в) симметричном распределении.

Методические рекомендации для преподавателей

Тема охватывает разные формы степенной средней и основные виды структурных средних. Особое внимание должно быть уделено вопросам обоснования задач, которые позволяют находить конкретные виды средних величин. В зависимости от назначения форм и видов средних величин раскрывается методика их расчета с учетом содержания признака, для которого рассчитывается средняя величина, и особенностей исходной информации.

При решении задач необходимо, чтобы все операции вычисления средней и их результат имели реальный смысл и могли быть интерпретированы с социально-экономической точки зрения. Для «вторичных» признаков расчет средней величины начинается с составления исходного соотношения, раскрывающего содержание самого признака.

Величину полученной средней целесообразно сравнить с величиной признака у отдельных единиц совокупности.

Методические указания студентам

В данной главе показано назначение средних величин, рассмотрены их основные виды и формы, методика расчета. Студенты должны усвоить требования к построению средних величин, соблюдение которых обеспечивает их использование как типических характеристик значений признака, по совокупности однородных единиц, понять роль средних величин при изучении состава совокупности и их связь с задачами изучения вариации.

Методика расчета средней величины зависит от поставленной цели исследования, от вида и взаимосвязи изучаемых признаков, а также от характера исходных данных.

Показатели вариации

Решение типовых задач

Задача 1

_{По следующим данным определите размах вариации и среднее линейное отклонение:}

Группы несовершеннолетних правонарушителей по возрасту	9	10	11	12	13	14	15	16	Итого
Количество правонарушителей	13	12	15	24	29	36	42	30	201

_{Решение:}

Возраст правонарушителей, лет (х)	Количество правонарушителей (f)	xi fi	xi − x	xi − x fi
1	2	3	4	5
9	13	117	3,8	49,4
10	12	120	2,8	33,6
11	15	165	1,8	27,0
12	24	288	0,8	19,2
13	29	377	0,2	5,8
14	36	504	1.2	43,2
15	42	630	2,2	92,4
16	30	480	3,2	96,0
Итого	201	2681	X	366,6

• Определим средний возраст правонарушителя по формуле средней арифметической

_{(графа 3):}

_{x= ∑} ^x_i ^f_{i =} ²⁶⁸¹ _{= 13,3 (года).}

_∑ ^f_i

201

• Определим среднее линейное отклонение (графы 4–5):

_{d = ∑} ^x_i ^{− x} ₌ ^366,6 _{= 1,8 (года).}

• Определим размах вариации:

∑ ^f_i

201

R = 16 — 9 = 7 лет.

По данным микропереписи 1999 г. получено следующее распределение населения,

_{проживающего в месте постоянного жительства не с рождения:}

Продолжительность проживания в месте постоянного жительства, лет	Доля населения в % к итогу
менее 2	7,5
2–5	11,0
6–9	10,5
10–14	12,3
15–24	21,1
25 и более	37,6
Итого	100,0

Определите среднее квадратическое отклонение продолжительности проживания в месте

постоянного жительства.