Решение:
i i (xi
−
x)
f
Продолжительность проживания в месте постоянного жительства, лет (х) |
Доля населения в % к итогу (f) |
Середина интервала хi |
х f |
( x − x ) |
2 (xi − x) |
2 |
А |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Менее 2 |
7,5 |
0,5 |
3,8 |
-17,4 |
302,8 |
2271 |
2–5 |
11,0 |
3,5 |
38,5 |
-14,4 |
207,4 |
2281,4 |
6–9 |
10,5 |
7,5 |
78,8 |
-10,4 |
108,2 |
1136,1 |
10–14 |
12,3 |
12,0 |
147,6 |
-5,9 |
34,8 |
428,0 |
15–24 |
21,1 |
19,5 |
411,5 |
1,6 |
2,6 |
54,6 |
25 и более |
37,6 |
29,5 |
1109,2 |
11,6 |
134,6 |
5060,9 |
Итого |
100,0 |
X |
1789,4 |
X |
X |
11232 |
• Для расчета средней величины переходим от интервалов к их серединам (графа 2).
• Определим среднюю арифметическую взвешенную (графа 3):
x=
1789,4 = 17,9 (года).100
• Рассчитаем дисперсию проживания населения (графы 4–6):
2
у 2 = ∑(xi − x) fi = 11232 = 112,3∑ fi
100
• Определим среднее квадратическое отклонение
у
= 112,3
=
10,6
(года).
Определите дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации,
моду, коэффициенты асимметрии и экцесса по следующим данным:
Группы магазинов по размерам товарооборота, млн руб. |
Число магазинов |
50–60 |
7 |
60–70 |
15 |
70–80 |
6 |
80–90 |
4 |
Итого |
32 |
Решение:
Группы магазинов по размеру товарооборота, млн руб. (х) |
Число магазинов (f) |
Середина интервала хi |
хi fi |
( xi − x ) |
(x − x) |
(x − x) f |
А |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
50–60 |
7 |
55 |
385 |
-12,2 |
148,8 |
1041,88 |
60–70 |
15 |
65 |
975 |
-2,2 |
4,8 |
72,6 |
70–80 |
6 |
75 |
450 |
7,8 |
60,8 |
365,04 |
80–90 |
4 |
85 |
340 |
17,8 |
316,8 |
1267,35 |
Итого |
32 |
X |
2150 |
X |
X |
2746,88 |
Расчетная таблица имеет следующий вид:
2 2
i i
• Найдем среднюю арифметическую (графа 3):
x = ∑ xi fi = 2150 = 67, 2 (млн руб.).
∑ xi 32
• Найдем дисперсию (графы 4–6):
2
σ2 = ∑ ( xi − x ) fi = 2746, 88 = 85, 84.
∑ fi 32
• Найдем среднее квадратическое отклонение:
σ
= σ2
=
85,
84
=
9,
27
(млн
руб.).
• Найдем коэффициент вариации:
V = σ 100% = 9, 27 100% = 13, 8%.
• Найдем моду:
x 67, 2
( fM
− fM −1 ) 15 − 7
M o = xo
+ i
( fM
o o
− fM −1 ) + ( fM
= 60 +10 ⋅ = 64, 7(млн руб.).
− fM +1 ) (15 − 7) + (15 − 6)
o o o o
• Определим коэффициент асимметрии:
• Рассчитаем эксцесс:
x − M
A
= os σ
= 67, 2 − 64, 7 = 0, 26.
9, 27
4
E = ∑ ( xi − x ) f : σ 4 − 3 = −0, 55.x ∑ f
Задача 4
Определите общую дисперсию по формуле σ2 = x2 − x2
по следующим данным:
Группы коммерческих банков по размеру активов, млн руб. |
До 200 |
200–300 |
300–400 |
400–500 |
600 и более |
Итого |
Удельный вес банков в % к итогу |
8 |
25 |
52 |
5 |
3 |
100 |
Решение:
Дополним таблицу с исходными данными двумя расчетными графами.
Группы коммерческих банков по размеру активов, млн руб., х |
Удельный вес банков, в % к итогу, f |
Середина интервала xi |
хi fi |
x2 f i i |
А |
1 |
2 |
3 |
4 |
До 200 |
8 |
150 |
1200 |
180000 |
200–300 |
25 |
250 |
6250 |
1562500 |
300–400 |
52 |
350 |
18200 |
6370000 |
400–500 |
7 |
450 |
3150 |
1417500 |
500–600 |
5 |
550 |
2750 |
1512500 |
600 и более |
3 |
650 |
1950 |
1267500 |
Итого |
100,0 |
X |
33500 |
12310000 |
• Определим среднюю арифметическую по способу моментов (графа 3):
x = 33 500 = 335 (млн руб.).
100
• Определим дисперсию по формуле (графа 4):
σ2 = x2 − x 2 = 12 310 000 − 3352 = 123 100 −112 225 = 10 875.
100