Контрольные задания

Найти производную 2-го порядка и дифференциал 1-го порядка

15.1 y = xsin(2x) 15.2 y = xcos(2x) 15.3 y = xe^2x

15.4 y = xe^-2x 15.5 y = cos(x²) 15.6 y = sin(x²)

15.7 y = ln(1+x²) 15.8 y = log(1-x²) 15.9 y = e^sixx

15.10 y = e^cosx 15.11 y = e^-cosx 15.12 y = e^-sinx

15.13 y = sin(x³) 15.14 y = cos(x³) 15.15 y = xsin(3x)

15.16 y = xcos(3x) 5.17 y = xe^3x 15.18 y = xe^-3x

15.19 y = xlnx 15.20 y = x²lnx 15.21 y = x^-2lnx

15.22 y = xln²x 15.23 y = xln³x 15.24 y = x²ln²x

15.25 y = arcsin(2x) 15.26 y = arccos(3x) 15.27 y = arctg(2x)

15.28 y = arcctg(5x) 15.29 y = ln(cosx) 15.30 y = ln(sinx)

15.31 y = ln(tgx) 15.32 y = ln(ctgx) 15.33 y = cos(lnx)

15.34 y = sin(lnx) 15.35 y = tg(lnx)

Исследовать и построить график функции

16.1 y = (8x²+18x+17)e^-x 16.2 y = (3x²-10x+11)e^x

16.3 y = (2x²-9x+12)e^x 16.4 y = (x²-27x-60)/

16.5 y = (x²-2x-2)e^x 16.6 y = (3x²-1x+3)e^x

16.7 y = (3x²-40x+105)16.8 y = (x²-24x-36)/

16.9 y = (x²-15x+90)16.10 y = (6x²+13x+11)e^-x

16.11 y = (x²-12x-9)/16.12 y = (x²-39x-126)/

16.13 y = (x²-10x+40)16.14 y = (2x²+5x+4)e^-x

16.15 y = (2x²+7x+8)e^-x 16.16 y = (4x²-4x+1)e^x

16.17 y = (x²-20x+175)16.18 y = (x²-30x-72)/

16.19 y = (x²-9x-6)/16.20 y = (18x²-21x+23)e^x

16.21 y = (3x²-25x+60)16.22 y = (x²-21x-18)/

16.23 y = (18x²+45x+46)e^-x 16.24 y = (3x²-35x+90)

16.25 y = (3x²-55x+450)16.26 y = (x²-18x-15)/

16.27 y = (x²-15x-12)/16.28 y = (x²-5x+10)

16.29 y = (49x²+63x+67)e^-x 16.30 y = (3x²-50x+315)

16.31 y = (x²-33x-84)/16.32 y = (25x²-50x+49)e^x

16.33 y = (18x²+27x+28)e^-x 16.34 y = (x²-36x-105)/

16.35 y = (3x²+1x+3)e^-x

Решить уравнение приближённо

17.1 x³+x-1=0 17.2 x⁵+x-1=0

17.3 x³+2x-2=0 17.4 x⁵+2x-2=0

17.5 x³+3x-3=0 17.6 x⁵+3x-3=0

17.7 x⁵+3x-2=0 17.8 x³+4x-3=0

17.9 x⁵+4x-3=0 17.10 2x=cosx

17.11 2x=e^-x 17.12 3x=cos2x

17.13 3x=e^-2x 17.14 x³=2(x+1)

17.15 x⁵=3(x+1) 17.16 x³+4x-4=0

17.17 x⁵+4x-4=0 17.8 x³+5x-5=0

17.19 x⁵+5x-5=0 17.20 x³+6x-6=0

17.21 x⁵+6x-6=0 17.22 x⁵+5x-4=0

17.23 x³+6x-5=0 17.24 x⁵+6x-5=0

17.25 4x=cos3x 17.26 4x=e^-3x

17.27 5x=cos4x 17.28 5x=e^-4x

17.29 x³=5(x+1) 17.30 x⁵=4(x+1)

17.31 2x³+x-1=0 17.32 2x⁵+x-1=0

17.33 3x³+2x-2=0 17.34 3x⁵+2x-2=0

17.35 4x³+3x-3=0

7. Неопределенный интеграл.

Первообразной для функции f(x) называется такая функция F(x), что F¢(x) = f(x). Неопределённым интегралом называется множество всех первообразных. Он обозначается так: òf(x)dx. В этой записи f(x)dx называется подынтегральным выражением, а f(x) - подынтегральной функцией. При этом можно записать òf(x)dx=F(x)+C, где F(x) - одна из первообразных, то есть F¢(x)=f(x).

Свойства неопределённых интегралов.

1) òd(f(x))=f(x)+C

2) dòf(x)dx=f(x)dx

3) òkf(x)dx=kòf(x)dx, где k - постоянная величина.

4) ò(f(x)±g(x))dx=òf(x)dx±òg(x)dx

5) òudv=uv-òvdu (интегрирование по частям)

6) òf(x)dx=F(x)+C Û òf(j(t))j¢(t)dt=F(j(t))+C (замена переменной

интегрирования)

7) òf(x)dx=F(x)+C Û òf(ax+b)dx=F(ax+b)+C

Таблица неопределенных интегралов.

Интегрирование некоторых классов функций.

Рациональные функции интегрируются разложением подынтегральной функции методом неопределённых коэффициентов на сумму целой части и простейших дробей.

Пример 1.

Делим уголком	x3	x2 - 3x+2
	x3-3x2+2x	x+3
	3x2 - 2x
	3x2 - 9x+6
	7x-6

Раскладываем знаменатель на множители x² - 3x+2 = (x - 1)(x - 2)

7x-6=A(x-2) + B(x-1)

x=1 Þ A=-1 x=2 Þ B=8

Ответ:

Тригонометрические функции R(sinx,cosx) интегрируются заменой переменной: 1) если R(-sinx,cosx) = -R(sinx,cosx) то t = cosx

2) если R(sinx,-cosx) = -R(sinx,cosx) то t = sinx

3) если R(-sinx,-cosx) = R(sinx,cosx) то t = tgx или t = ctgx

4) t = tg(x/2) или t = ctg(x/2) (универсальная тригонометрическая подстановка)

Пример 2.

подходит первый случай, поэтому t=cosx

Ответ: -ln(cosx+1)+C

Функции вида интегрируются подстановками Эйлера: 1) если a>0, то ax²+bx+c=a(x+t)²

2) если c>0, то ax²+bx+c=(xt+Öc)²

3) если ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂), то ax²+bx+c=(x-x₁)²t²

Пример 3.

подходит первый случай, поэтому x²+x+1=(x+t)²

...

Функции вида интегрируются тригонометрическими подстановками: 1) если x²+a², то x=atgt или x=actgt

2) если -x²+a², то x=asint или x=acost

3) если x²-a², то x=a/sint или x=a/cost

Пример 4.

подходит первый случай, поэтому x=2tgt

666

Найти интегралы:

1. ò(x³+3x² - 6)dx 2. ò(x-)dx

3. ò(3^x - 2^-x)dx 5. ò(sin3x - cos5x)dx

5. ò6.ò

7. ò8.ò

9. ò10.ò

11. òxlnxdx 12. òxarctgxdx

13. òxsinxdx 14. òxe^-xdx

15. òsinxcos⁴xdx Указание: подстановка t = cosx

16. òdxУказание: подстановка t = 1 + e^x

17. òdxУказание: подстановка t = lnx

18. òdxУказание: подстановка t = x²

19. òdxУказание: подстановка t = tg

20. òdxУказание: подстановка t = tgx

555

Выучить наизусть

Определение неопределённого интеграла. Правила интегрирования. Таблицу интегралов.