Тема 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств Лекция 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств

Один из важных принципов моделирования экономики связан с нелинейностью и нечеткостью проблемной ситуации.

Системная оптимизация управления экономическими объектами в условиях неопределенности с использованием теории нечетких множеств [1] обеспечивает учет неопределенных исходных данных для построения реальных математических моделей управления экономикой в условиях рынка.

Наиболее полно реальные явления экономики можно описать, объединив понятия вероятностей и определенности. Согласно теории нечетких множеств, всю информацию можно разделить на три группы. События, достоверность наступления которых равна 1 (достоверные события). События, достоверность наступления которых равна нулю (невозможные события). События, достоверность наступления которых колеблется между нулем и единицей. Соотношение между уровнями принадлежности и значениями функции принадлежности позволяет численно оценить величины, которые невозможно оценить при помощи вероятностей.

Таким образом, теория нечетких множеств позволяет описывать состояния экономических явлений, которые могут не поддаваться непосредственным измерениям.

Теория нечетких множеств дает точное определение нечеткого числа, как подмножества действительных чисел универсального множества, обладающего свойствами нормальности и выпуклости функции принадлежности.

Основной особенностью применения нечетких множеств является однозначность факта принадлежности (не принадлежности) множеству. Использование ключевых понятий теории множеств (пересечение, объединение, дизъюнкция, дополнение) помогает с достаточной степенью достоверности установить факт принадлежности элемента рассматриваемому множеству.

Термин "оценка" в теории нечетких множеств имеет тот же смысл, что и математическое ожидание в теории вероятностей. Теория нечетких множеств рассматривает интервалы достоверности при всех уровнях достоверности от 0 до 1. В теории нечетких множеств применяются нечеткие треугольные числа (НТЧ). Укажем на следующие области применения НТЧ:

1. Кратковременное и долгосрочное планирование процессов экономического развития;

2. Управление запасами;

3. Замена оборудования;

4. Привлечение инвестиций;

5. Отбор персонала;

6. Управление качеством выпускаемой продукции;

7. Многокритериальные оптимизационные задачи.

На рис.14 НТЧ показано в координатах: уровень достоверности ()  интервал достоверности (L).

Все текущие значения левых границ интервала X и правых границ Y находятся из подобия соответствующих треугольников  рис.14. Из этого подобия следует:

(m  r)/(X  r) = 1/ (1)

Тогда текущие значения X и Y можно вычислить:

X = r + (m  r)

Y = s  (s  m) (2)

Приведем пример для расчета чистой приведенной стоимости NPV инвестиций. Проект характеризуется следующими размерами денежных средств, распределенных по периодам времени (t=0,1,2,3):

t=0	t=1	t=2	t=3
-7000	5000	4000	2000

Для промежутков времени t=1, 3 известны значения НТЧ уровня доходности инвестиций (процентной ставки):

t=1: (r1, m1, s1) = (8, 10, 13)

t=2: (r2, m2, s2) = (9, 12, 15)

t=3: (r3, m3, s3) = (7, 10, 12)

По формулам (2) рассчитаны интервалы достоверности процентов каждого года:

[r1, s1] = [8 + 2, 13  3]

[r2, s2] = [9 + 3, 15  3]

[r3, s3] = [7 + 3, 12  2]

При изучении материалов в темах 6 – 8 была приведена формула для расчета чистой приведенной стоимости:

NPV =  I_o +F(t) (3),

где I_o = 7000 д. ед.  инвестиции на нулевой момент времени.

Значение функции финансовых средств F(t) = 5000, 4000, 2000 денежных единиц для каждого последующего момента времени.

Все вычисления проводятся в следующей последовательности.

1. Момент времени t=1.

Коэффициент дисконтирования есть дробь: .

а) Сначала найдем сумму 1 + k.

Операция сложения нечетких чисел следует правилу:

[a, b] (+) [c, d] = [a +c, b + d].

Поскольку для единицы a = 1, b = 1, а для нечеткого числа k левая граница (ЛГ) интервала c = r, правая граница (ПГ) d = s, то сумма:

1 + k = [1 + r, 1 + s]

Для следующего шага значение левой границы будет c=1+r, а значение правой границы: d=1+s.

б) Теперь найдем частное .

Операция деления нечетких чисел следует правилу:

[a, b] (:) [c, d] = [a/d, b/c]

Тогда = , и значения, соответственно, левых и правых границ составят: a = , b =

Теперь переходим к моменту времени t = 2.

2. Момент времени t=2.

Требуется найти коэффициент дисконтирования [ ]².

Значение [ ]² = [ ][ ]

В правой части первый сомножитель относится к моменту времени t = 1, второй  к моменту времени t=2.

Операция умножения нечетких чисел следует правилу:

[a, b] () [c, d] = [ac, bd].

Это значит, что перемножаются значения левых границ для моментов времени, соответственно, t=1 и t=2, образуя значение левой границы интервала на момент времени t=2. Аналогично получается и результат значения правой границы для момента времени t=2.

Учитывая, что значения r, s даны в процентах, окончательно получим для коэффициента дисконтирования [ ][ ]:

[  ,  ]

Обозначим эти четыре дроби, соответственно, буквами E,F,G,H.

3. Момент времени t=3.

Найдем коэффициент дисконтирования для момента времени t=3:

[ ]³ = [ ][ ][ ] (4)

В формуле (4) сомножители правой части относятся к моментам времени, соответственно, t = 1, t = 2, t = 3.

Операция та же  умножение. Поэтому появятся два новых сомножителя: I =  это значение левой границы для момента времени t = 3, и J =  значение правой границы (ПГ) для момента времени t = 3. Теперь вычисление чистой приведенной стоимости производится по формуле:

NPV = 7000 + 5000[E,G] + 4000[EF, GH] + 2000[EFI, GHJ]

Сведем все результаты вычислений левой и правой границ нечетких треугольных чисел в таблицу 31.

Таблица 31

Результаты вычислений значений NPV

	ЛГ для NPV	ПГ для NPV
0	1876	2615
0,1	1914	2579
0,2	1951	2543
0,3	1990	2508
0,4	2029	2472
0,5	2067	2437
0,6	2106	2404
0,7	2147	2368
0,8	2186	2334
0,9	2227	2300
1	2266	2266

По данным таблицы 31 можно построить функцию принадлежности в координатах: уровень достоверности (так называемые "  сечения")  интервал достоверности.

Преимущество перед вероятностным подходом очевидно: вместо одного уровня достоверности (95 или 99%) располагаем набором значений множества интервалов достоверности. Эти значения в отличие от случайных, вероятностных являются точными.

Трудоемкие расчеты, связанные с использованием нечетких чисел, реализуются в виде программного продукта Fuzzy for Excel. Технология обработки нечетких чисел в среде Excel предусматривает дополнительную панель инструментов Fuzzy Tools и меню Fuzzy [1].

По этой технологии нечеткие числа имеют характеристики:

• максимальной степени уверенности;

• центр тяжести графика нечеткого числа;

• максимальное и минимальное значение по заданному уровню достоверности.

Нечеткие числа представляются и в графическом виде. Каждый из двух массивов имеет размерность 21. Первый массив  последовательно возрастающие числа от минимального до максимального. Второй массив предназначается для уровней достоверности.

В технологии Fuzzy обычные числа могут быть представлены, как нечеткие. Функции задания нечетких чисел включают 14 наименований. При этом, возможно задать оттенки: «меньше, чем…»; «больше, чем…»; «около…»; «около… и менее до…»; «около… и более до»; «2…или…» и др.

Для выполнения арифметических расчетов с нечеткими числами используется функция «Fuzzy Formula». Вспомогательные функции позволяют вычислять суммы; произведения; средние значения; возведение в степень и извлечение корня; пересечения; объединения; вычисление ставок дисконта; уровня риска.

Инструментарий Fuzzy Tools обеспечивает просмотр и документирование нечетких чисел (в том числе трехмерного изображения чисел; подготовку программ; помощь и подсказки по программе).