Математические основы развития экономики в модели Солоу

В модели Солоу заложены следующие 10 предпосылок:

1. Производственная функция: Y=F(K, L) (1)

Первые производные функции (1) больше нуля, вторые – меньше нуля. Символом Y обозначен результат функционирования экономического объекта (выпуск продукции, доход); K – размеры капитала; L – размеры трудовых ресурсов.

2. Величина выбытия капитала: W = K, (2)

где   норма выбытия капитала.

3. Норма сбережений (инвестиций)  постоянна и поэтому количество инвестируемых единиц: I = Y (3)

4. Значение: Y = C + I, (4)

где С – величина потребления.

5. Производительность труда: y = Y/L (5)

6. Капиталовооруженность: x = K/L (6)

7. При делении обеих частей формулы (1) на L получим:

y = f(x) (7)

8. Размеры инвестиций характеризуют изменение величины капитала во времени: dK/dt = I, (8)

причем удельные (на единицу труда) инвестиции:

i=I/L (9)

9. Темп численности занятых на производстве n, трудосберегающий темп НТП (научно-технического прогресса) g и норма выбытия капитала  связывают величину удельных инвестиций и капиталовооруженности соотношением:

i = ( + n + g)x (10)

10. Если формулу (4) записать для единицы трудового ресурса, то производительность труда будет: y = c + i, (11)

а удельные инвестиции: i =f(x) (12)

Значение капиталовооруженности x находится в устойчивом равновесии, если ее прирост за счет инвестиций компенсирует ее уменьшение за счет других факторов. Это положение отразим в (13):

( + n + g)x* ==f(x*), (13)

где x*  устойчивый уровень капиталовооруженности.

На рис.10 показана зависимость i = f(x).

В точке А удельный прирост x точно равен величине его удельного сокращения и поэтому x_A = x*. Это равновесие устойчиво, так как при x₁ < x* инвестиции i₁ (точка n) превышают их величину (точка 1), подсчитанную по формуле (10). При x₂  x* инвестиции i₂ (точка m) ниже их значений в точке 2. Значение инвестиций в точке А, равное величине i* = ( + n + g)x*, соответствует устойчивому значению капиталовооруженности x*.

Рассмотрим следующие состояния развивающейся экономики.

1. С ростом  происходит рост инвестиций (формула (12)). Тогда функция инвестиций пересечет прямую линию ( + n + g)x – правее. Значит, рост  увеличивает устойчивый уровень x*. Благосостояние населения при этом улучшается.

2. Если численность работающих не увеличивается (n=0), то прямая линия ( + n + g)x будет иметь меньший наклон к горизонтальной оси и, значит, точка x* сдвинется вправо. (То же будет и при g = 0).

3. Темпы прироста y, x, c, i в устойчивом состоянии экономики равны нулю. Поэтому, если g  0 (темп НТП), эти величины также будут расти.

4. При росте темпа n численности занятых на производстве общий объем капитала, дохода, потребления и инвестиций возрастают с темпом (n+g). Это значит, что надежным источником длительного и устойчивого роста благосостояния населения является научно – технический прогресс [6].

Поскольку каждому уровню нормы сбережения  отвечает определенное устойчивое состояние и уровень удельного потребления с*, возникает вопрос, при каких условиях значение с* будет максимальным?

Используя формулу (10) и (11), получим:

с* = y* i* = f(x*) – ( + n + g)x* (14)

Равенство нулю правой части, после взятия первой производной в формуле (14), дает:

d[f(x*)] = ( + n + g) (15)

Х*

На рис.11 приведены соответствующие зависимости в координатах: K, W – производство и выбытие капитала, соответственно (вертикальная ось); значения x*  горизонтальная ось. Рис.11 показывает, как выбирается оптимальный объем капитала при максимизации с* по «золотому правилу экономики». Этому правилу будут соответствовать значения x** и *. Значение * определяется из уравнения устойчивого состояния экономики:

( + n + g)x** = *f(x**) (16)

Тогда и величина удельного потребления с** «по золотому правилу» будет представлять разность:

с** = y**  i** = f(x**)  ( + n + g)x (17)

Отсюда вытекают три характерные ситуации:

1.Если темп роста трудовых ресурсов n более низок, чем первоначальный, то точка x** сдвинется вправо, а значение с** увеличится.

2. Если первоначальное значение x* x**, то увеличивают норму сбережения  до значения «по золотому правилу». Тогда экономика постепенно выходит на максимальный уровень с**  рис.12а. В начале удельный уровень потребления будет даже несколько ниже исходного и, лишь затем, постепенно вырастет наряду с ростом инвестиций i и производительности труда у.

3. Если же x*x**, то снижают значение  (норму сбережений) до уровня, соответствующему «золотому правилу». Тогда экономика постепенно выходит на требуемый уровень с**. Причем, вначале удельное потребление даже несколько вырастет, а затем будет постепенно снижаться наряду со снижением инвестиций i и производительности труда, которые первоначально имели более высокие значения – рис.12б.