Математические основы теории трудовой стоимости Модель продаж и рынка одного товара

На рис.13 изображена зависимость спроса D(p) и предложения S(p) от цены товара р. В точке равновесия M(S*,D*) спрос точно соответствует предложению. Пусть зависимость спроса от цены подчиняется линейной формуле:

D = 10 – p (1)

Зависимость предложения от цены: S = 2 + p/4 (2)

Из (1) следует, что цена зависит от спроса:

p = 10 – D (3)

С учетом (2) зависимость цены от предложения:

p = 4S – 8 (4)

Значение цены, при котором S* = D*, равно p* = 6,4.

Рис. 13. Зависимость спроса и предложения от цены

Рассмотрим эту ситуацию подробнее. При р₁ = 2 значение D₁S₁. Это означает, что цену надо увеличить до значения р₂ = 7,5 и тогда S₁ = D₂. Теперь продавцы определяют значение S₂ = 2 + 7,5/4 = 31/8, что больше величины спроса D₂. Это вызовет уменьшение цены до р₃ = 49/8, в то время как прежнее значение было р₂ = 7,5. И только в точке M(S*,D*) обеспечивается значение равновесной цены p* = 6,4.

Модель производства множества товаров

Укажем на два конкретных обстоятельства, которые будут учитываться при последующем рассмотрении данного вопроса:

1. Каждая отрасль может произвести любой объем продукции, если для этого объема будет достаточно ресурсов;

2. Если продукция производится на внешнее потребление в количестве Y конечного продукта, то:

Y = X – AX или Y = X(E – A) (5)

Окончательно получим: X = (E – A)^-1Y = BY (6)

В уравнении (6) значение А – заданная матрица ресурсов. Возникает вопрос, каким количеством ресурсов надо располагать, чтобы производить любое вещественное значение Y  0 ? Ответ на этот вопрос: только, когда соблюдается условие:

(E – A)^-1  0 (7)

Тогда матрица А отражает способность к производству продукции, то есть она продуктивна.

Для непроизводственной сферы Y = X – AX = X(E – A) (8). Но на производство Y надо израсходовать AX ресурсов, а на производство этих AX ресурсов надо затратить A(AX) = A² X ресурсов. А на производство A² X ресурсов надо затратить еще А(A²X) ресурсов и т.д. Сумма такого бесконечного ряда и есть полные затраты ресурсов. Поскольку в производственную функцию входит второй агрегированный ресурс L (трудовые резервы), очень важен вопрос, из каких условий надо определять его численное значение.

Величина и стоимость трудовых ресурсов, необходимых для производства множества товаров

Пусть в каждой j-й (потребляющей) отрасли необходимые трудозатраты будут обозначены L  0. Тогда для модели Леонтьева «затраты – выпуск» в системе отраслей значение:

X = X(A,L) (9)

Вектор конечного спроса Y относится к непроизводственной сфере. Но его можно представить через коэффициент пропорциональности  в общем объеме выпуска всех отраслей. Обозначим общий объем необходимых трудовых ресурсов через Т. Если   число комплектов конечной продукции, то ее весь объем будет Y. Теперь можно сформулировать оптимизационную задачу:

Z =   max

X – AX  Y (10)

LX  T

В системе (10) ищутся оптимальные значения X*, *. Перепишем систему (10) в виде прямой и двойственной задач.

Прямая задача Двойственная задача

  max f = qT min (12)

Y – (E A)X  0 (11) PY  1 (13)

LX  T qLP(E A)  0 (14)

В двойственной задаче минимизируются объемы трудовых ресурсов (причем q* цена трудовых ресурсов, а Р* – теневые цены товаров). Ясно, что отыскиваются только эти вещественные значения.

Из первой и второй теорем двойственности вытекают следующие соотношения:

• P*Y* = 1 (15)– стоимость комплекта;

• q*L = P*(E – A) (16) – баланс стоимости трудовых ресурсов и выпускаемых товаров;

• * = q*T (17) – одинаковость значений целевых функций прямой и двойственной задач;

• LX*=T (18)  баланс количества трудовых ресурсов, необходимых для валового выпуска продукции и имеющегося количество трудовых ресурсов.

Тогда из (16) получим:P* = q*L(E – A)^-1 (19)

Подставив значение P* из выражения (19) в равенство (15), окончательно получим:

q* = 1 / [L(E – A)^-1Y] (20)

Найдем значение Р* из (19) и (20):

P* = [L(E – A)^-1] / [L(E – A)^-1Y] (21)

Так как цена одного комплекта равна единице, поэтому *  цена  комплектов; q*T – сумма зарплаты, выплаченная за Т единиц труда по цене q*.

В состоянии равновесия спрос равен предложению (в единицах стоимости). Это значит, что равенство * = q*T выражает равенство спроса и предложения в терминах стоимости: цена выпущенного объема конечной продукции (спроса Y) равна общей зарплате людей, участвовавших в процессе производства (при реализации предложения). Это соответствует теории трудовой стоимости Маркса: стоимость товара есть количество общественного труда, необходимого для производства товара.

Чтобы использовать l_j единиц труда, надо сначала иметь a_ij единиц ресурсов каждой производящей (i–той) отрасли. Это значит, что вышеназванный вектор L(E – A)^-1 представляет вектор полных затрат труда при производстве единицы конечной продукции Y в каждой отрасли. Именно из выражения (21) следует, что цены пропорциональны полным трудовым затратам.

Величина вектора трудовых ресурсов может быть включена в формулу потребительского спроса [4]:

B_j^c = А[RK^п + WL^п]1/P_j (22)

В этой формуле русские буквы (верхние индексы) означают: «п» – производство (предложение), «с» – потребление (спрос); нижние индексы: j – вид товара потребительского спроса; P_j – цены на товары, устанавливаемые производством. Значения R, K^п – соответственно нормативные значения цен услуг и размеров капитала; W, L^п – соответственно нормативные значения цены труда и требуемых размеров трудовых ресурсов на предприятии для выпуска продукции. Символ А = b_j /  b_j , где b_j – используемые ресурсы.