- •Тема 1. Математические основы для решения оптимальных задач 12
- •Тема 2. Многокритериальная оптимизация 33
- •Тема 3. Совокупность взаимосвязанных отраслей экономики 38
- •Тема 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики 52
- •Тема 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств 126
- •Тема 10. Поиск наилучших решений методами динамического программирования 137
- •Введение
- •Тема 1. Математические основы для решения оптимальных задач Лекция 1. Математические основы для решения оптимальных задач
- •Условия возникновения двойственности при оптимизации проблемных ситуаций, возникающих в экономике
- •Первая теорема двойственности
- •Вторая теорема двойственности
- •Третья теорема двойственности
- •Контрольные вопросы по введению и теме №1
- •Модель оценки технических возможностей экскаваторов Составление модели
- •Учет в модели дополнительных факторов
- •Основные рыночные характеристики экскаваторов
- •Тема 2. Многокритериальная оптимизация Лекция 2. Многокритериальная оптимизация
- •Контрольные вопросы к теме №2
- •Дополнительная задача
- •Тема 3. Совокупность взаимосвязанных отраслей экономики Лекция 3. Совокупность взаимосвязанных отраслей в экономике
- •Оптимизационная модель Леонтьева с учетом комплектности для выпускаемой продукции по отраслям
- •Разработка модели и анализ результатов
- •Модели динамического межотраслевого баланса Модель экономического роста
- •Оптимизационные динамические модели межотраслевого баланса
- •Динамическая оптимизационная модель накопления капитала
- •Динамическая оптимизационная модель потребления
- •Контрольные вопросы к теме №3
- •Анализ вариантов реконструкции завода
- •Составление модели
- •Тема 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики Лекция 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики
- •Решение
- •Решение
- •Задачи оптимизации производства
- •Функции спроса на ресурсы для долгосрочного периода
- •Функции спроса на ресурсы для краткосрочного периода
- •Динамическая модель оптимального размещения выпускаемой продукции по отраслям промышленного производства (производственно – транспортная модель)
- •Неоклассическая модель экономического роста Солоу
- •Математические основы развития экономики в модели Солоу
- •Математические основы теории трудовой стоимости Модель продаж и рынка одного товара
- •Модель производства множества товаров
- •Величина и стоимость трудовых ресурсов, необходимых для производства множества товаров
- •Контрольные вопросы по теме №4
- •Оптимизация внешнеторгового оборота
- •Оптимизация комплектования и транспортировки ресурсов для производства товаров внутри страны
- •Контрольные вопросы к теме №5
- •Тема 6. Динамические модели инвестиционной деятельности Лекция 6. Динамические модели инвестиционной деятельности
- •Модель инвестиционного менеджмента с учетом экономической конъюнктуры рынка
- •Обозначения.
- •Тема 7. Функциональная модель инвестиционного менеджмента Лекция 7. Функциональная модель инвестиционного менеджмента
- •Постановка задачи
- •Метод моделирования Условия ликвидности
- •Ограничения по производственным мощностям
- •Анализ результатов
- •Целевая функция двойственной задачи
- •Экономическая интерпретация результатов двойственной
- •Особенности модели Ферстнера
- •Тема 8. Динамическая оптимизационная модель конкурса инвестиционных проектов Лекция 8. Динамическая оптимизационная модель конкурса инвестиционных проектов
- •Постановка задачи
- •Метод моделирования
- •Анализ результатов
- •Модель инвестиционного менеджмента (по Албаху)
- •Постановка задачи
- •Условия проекта
- •Метод моделирования
- •Условия производства и сбыта продукции
- •Анализ результатов
- •Контрольные вопросы к темам № 6, 7, 8
- •Тема 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств Лекция 9. Оптимизация проблемных ситуаций с использованием теории нечетких множеств
- •Контрольные вопросы по теме №9
- •Пример практического применения нечетких чисел
- •Тема 10. Поиск наилучших решений методами динамического программирования Лекция 10. Поиск наилучших решений методами динамического программирования
- •Алгоритм решения
- •Контрольные вопросы по теме №10
- •Приложение 1 Минимальное возрастание стоимости комплекса работ
- •Указания к выполнению самостоятельной работы
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
- •Математические методы теории принятия решений Курс лекций
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Решение
Целевая функция минимум расхода топлива
Z=0,24P1 + 0,0008P12 + 0,16P2 + 0,0008P22 + 0,18P3 + 0,001P32 min.
Ограничение на потребление суммарной мощности станций:
P1 + P2 + P3 = 600 (1)
Ограничения на располагаемые мощности станций:
50 <= P1 <= 220 (2)
70 <= P2 <= 300 (3)
60 <= P3 <= 250 (4)
Функция Лагранжа для этой задачи выглядит так:
L = Z + *(600 P1 P2 P3) min (5)
Ниже представлена таблица Excel (табл. 13), в которой приводятся результаты оптимизации энергосберегающего снабжения. Значения мощности тепловых электростанций, вырабатывающих энергию для промышленного узла, определены с точностью двух цифр после запятой.
В третьей строке таблицы 5 вводились начальные значения, равные единице. В этой строке выделенными цифрами показаны оптимальные значения мощностей, полученные в результате моделирования. В ячейку C8 вводилась целевая функция Лагранжа (5). Первоначальное, по мнению экспертов, значение множителя Лагранжа было равно 0,6, а затем было уточнено и составило величину 0,564.
Таблица 13
Таблица Excel нелинейной задачи
-
A
B
C
D
Е
F
2
Значения отыскиваемых переменных
3
значения
203,85
203,08
193,08
4
нижнее
50
70
60
5
верхнее
220
300
250
6
Ограничения и целевая функция
7
Левая часть
Знак
Правая часть
8
топливо
V
227,93
минимум
9
мощность
R
600
=
600
10
Расходы топлива на ТЭС
11
ТЭС-1
V1
82,17
12
ТЭС-2
V2
73,73
13
ТЭС-3
V3
72,03
В девятой строке вводилась формула (1) сумма потребных мощностей. В 11, 12 и 13 строки вводились формулы определения расходов топлива. Двусторонние ограничения (2), (3), (4) на производимые станциями мощности связаны со строками 4 и 5.
Алгоритм решения этой задачи средствами Excel будет таким. Ввод формул (1) и (5) с клавиатуры. Контроль правильности ввода осуществляется в строке формул.
Ввод ограничений на отыскиваемые переменные (B3, C3, D3) осуществляется следующим образом.
СЕРВИС, ПОИСК РЕШЕНИЯ. В окне Поиск решения установить целевую ячейку $C$8, равной минимальному значению. Изменяемые ячейки: $B$3:$D$3.
Ограничения: B3 => B4; C3 => C4; D3 => D4;
B3 <= B5; C3 <= C5; D3 <= D5;
B3 = 1; C3 = 1; D3 = 1; {первоначально}
D9 = F9.
Формат/ Ячейки/ Число. Назначить две цифры после запятой.
Параметры поиска решения. В информационной строке Линейная модель флажок не ставить, нажать клавишу ОК.
ВЫПОЛНИТЬ. Нажать ОК. На экране окно Результаты поиска решения. Эти результаты показаны в таблице выделенным шрифтом.
Результаты поиска решения содержат отчеты по результатам и по устойчивости. Отчет по устойчивости состоит из двух таблиц.
В первой части таблицы приведены оптимальные значения переменных B3, C3, D3 и значение нормированного градиента (параметра поиска).
Во второй части таблицы приведены значения критерия оптимальности C8 = 227,93 и множителя Лагранжа = 0,564. Последнее значение означает, что при дополнительных потребностях промышленного узла на каждую единицу новой мощности потребуется израсходовать 0,564 тонны топлива.
Подчеркиваем еще раз, что цифры в круглых скобках на рис.5 указывают на минимальные расходы топлива для каждой ТЭС, обеспечивающие оптимальную выработку располагаемых мощностей.
Рассмотренная нелинейная задача оптимизации является представителем целого класса задач энергосберегающих технологий. В данном случае речь шла о сбережении тепловой энергии сжигаемого топлива для производства требуемого количества электрической энергии, используемой в промышленных целях.
Приведем пример, когда функция Лагранжа используется для оценки развития промышленных объектов [1].
Пример. Для каждого из трех реконструируемых заводов известна зависимость капитальных вложений К от планируемого прироста продукции V:
K1 = 0,1V1/(5 V1);
K2 = 0,15V2/(6 – V2);
K3 = 0,12V3/(4 – V3).
Требуется разработать оптимальный план реконструкции с минимальными капитальными затратами, обеспечивающий прирост производства 3 тыс. тонн в год.