Тема 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики Лекция 4. Поиск наилучших решений под контролем ключевых вопросов развития экономики

Контроль в правильном использовании математических основ принятия решений принадлежит ключевым вопросам: теории развития производства; созданию производственно – транспортной системы; развития макроэкономики; теории трудовой стоимости. Мы детально рассмотрим эти вопросы ниже. Но перед этим обратим внимание на мощный инструментарий поиска наилучших решений.

Методы, рассматриваемые ниже, предназначены для отыскания локального оптимума. Если существует несколько локальных оптимумов, то всегда возможно найти глобальный оптимум с наибольшим (наименьшим) значением.

Задачи безусловной оптимизации не включают дополнительных условий, в отличие от задач условной оптимизации, которые содержат не только целевую функцию, но и ограничения, граничные условия и неотрицательность отыскиваемых переменных.

Метод неопределенных множителей Лагранжа, реализованный в Excel, позволяет преобразовать задачу условной оптимизации в задачу безусловной и во многих ситуациях гарантирует отыскание оптимального решения.

Содержание алгоритма этого метода поясним на примере.

Целевая функция:

Ограничения: X₁ + X₂ = 1 (1)

Неотрицательность переменных:

X₁=>0, X₂=>0 (2)

Составим функцию Лагранжа:

L = Z + (1 X₁  X₂) (3)

Здесь   указывает на изменение ЦФ при изменении соответствующего ресурса на единицу. (Это аналог основной переменной в двойственной задаче  теневая цена).

Возьмем частные производные функции Лагранжа по отыскиваемым переменным (X₁,X₂,)  получим следующую систему алгебраических уравнений:

2X₁  = 0;

2X₂  = 0; (4)

1  X₁  X₂ = 0

Система (4)  обычная система трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными. Решение этой системы дает следующие значения переменных и целевой функции:

X₁* = 0,5; X₂* = 0,5; * = 1; Z* = 2; L* = 2.

Если в выражении (3) указать характер экстремума, получим формулировку задачи безусловной оптимизации в виде:

L = Z + (1  X₁  X₂)  max (5)

Критерием окончания поиска оптимального решения (достижения экстремума) является минимум относительного приращения целевой функции Z на каждом k-ом шаге:

Е(k) = [Z(k+1)  Z(k)] / Z(k) (6)

Если все условия задачи выполняются и Е(k) <= Z зад. (точность решения), тогда процесс поиска решения заканчивается.

Из выражения (6) следует важный вывод: при решении нелинейных оптимизационных задач должно быть задано начальное, отличное от нуля, значение Z(k) [5]. В этом случае в формуле (6) не будет деления на нуль, то есть не будет неопределенности решения. Для выполнения условия (6) необходимо, чтобы, по крайней мере, Z(k) = 1.

Отсюда вытекает правило, что отыскиваемые переменные нелинейной задачи должны первоначально иметь значения, по крайней мере, равные единице.

Эти рассуждения приводят к двум важным правилам решения оптимизационных нелинейных задач средствами Excel.

В таблице Excel исходных данных назначаются первоначальные, отличные от нуля, значения отыскиваемых переменных.

В окне Параметры поиска решения флажок для указания Линейная модель не ставится.

Покажем это на примере экономически оправданного распределения активной нагрузки P(i) между тремя станциями (i = 1,3) энергосистемы, работающими на один промышленный узел ПУ (рис.5). Здесь источники теплоснабжения обозначены ТЭС1, ТЭС2, ТЭС3 [5].

Эти тепловые электростанции работают на один промышленный узел, который может представлять собой объединение нескольких населенных пунктов различной категории.

Цифры в круглых скобках  минимальные расходы топлива на каждой ТЭС; остальные цифры  располагаемые мощности каждой ТЭС.

Станции работают на топливе одного и того же месторождения. Их расходные характеристики (зависимость расхода топлива B от активной нагрузки P) имеют вид:

B1 = 0,24P₁ + 0,0008  P₁² (а)

B2 = 0,16P₂ + 0, 0001P₂² (b)

B3 = 0,18P₃ + 0, 001 P₃² (d)

Потери в ЛЭП не учитываются. Состав оборудования станций  неизменный, потери холостого хода можно принять равными нулю. Отсюда: P₁, P₂ и P₃  мощности, непосредственно подходящие к промышленному узлу (ПУ).

Критерий оптимальности  минимум расхода топлива.