3. Окремі випадки розв’язання математичної

моделі конвективного теплообміну.

Теплопровідність

Розглянемо випадок, коли відсутній рух частинок одна відносно одної, тобто відсутня конвекція. Тоді рівняння руху і нерозривності тотожно рівні нулю, а у рівнянні енергії зникають усі члени, які мають швидкість і воно набуває вигляд:

. (47)

Рівняння (47) називається рівнянням теплопровідності і описує процес перенесення тепла практично тільки у твердих тілах. У рідинах і газах при наявності градієнту температур виникає рух рідини, викликаний різницею густин нагрітих і більш холодних шарів (вільна конвекція).

3.1. Стаціонарна теплопровідність

Стаціонарна теплопровідність характеризується тим, що температура у кожній точці тіла не змінюється з часом .

Так, як , то рівняння (47) набуває вигляд:

. (48)

Отримане рівняння називається диференційним рівнянням теплопровідності у нерухомому середовищі при сталому тепловому режимі.

Розглянемо деякі випадки розв’язання рівняння (48).

3.1.1. Теплопровідність плоскої необмеженої пластини

3.3.1.1. Граничні умови першого роду

Необмеженою пластиною будемо вважати пластину, яка має розміри у напрямі вісей у і z настільки великі, що тепло передається тільки у напрямку вісі Х рисунок 10.

Температури поверхонь стінки рівні t_c1 і t_с2, причому Так, як ми розглядаємо сталий процес, то кількість тепла, підведеного до стінки і відведеного від неї, повинні бути рівні між собою і не повинні змінюватись у часі. У рівнянні теплопровідності зникають складові і та воно набуває вигляду:

. (49)

Рисунок 10. До розгляду граничних умов I роду

Для його розв’язання необхідно додати умови однозначності:

• геометричні – задана товщина пластини ,

• фізичні – теплопровідність  відома і не залежить від температури,

• граничні умови – відомі температури стінок t_c1 і t_c2.

Інтегруючи двічі рівняння (49) отримаємо

,

де С₁ і С₂ - константи інтегрування.

Таким чином одержане рівняння показує, що по товщині плоскої стінки температура змінюється прямолінійно.

Константи інтегрування визначаються виходячи з граничних умов

при x=0; t=t_c1; отже ;

при x=; t=t_c2; отже .

Таким чином отримаємо:

. (50)

Питомий тепловий потік згідно закону Фур’є дорівнює:

. (51)

Вираз - називається термічним опором пластини.

Таким чином для безперервного процесу передачі тепла теплопровідністю отримаємо:

. (52)

Рівняння (52) характеризує загальну кількість теплоти Q, яка передається через поверхню стінки F за проміжок часу .

Якщо плоска стінка складається з n-шарів, які відрізняються один від одного теплопровідністю і товщиною, то при сталому процесі через кожний шар стінки пройде одна й таж кількість теплоти, яка може бути виражена для різноманітних шарів рівняннями:

або ;

; ;

; .

Додавши ліві і праві частини, отримаємо

,

звідки , (53)

де і - порядковий номер шару стінки.

n - число шарів.

3.1.1.2. Граничні умови третього роду. Теплопередача

Розглянемо випадок, коли пластина з двох сторін омивається рідиною, рисунок 11.

Передача теплоти з одного середовища (рідини або газу) до другого через розділяючу їх однорідну або багатошарову стінку будь-якої форми, називається теплопередачею. Теплопередача включає в себе тепловіддачу від більш гарячої рідини до стінки, теплопровідність у стінці, тепловіддачу від стінки до більш холодного середовища.

Рисунок 11. До розгляду процесу теплопередачі

Нехай плоска однорідна стінка має товщину . Задані коефіцієнти теплопровідності стінки , температури навколишнього середовища t_р1 і t_р2, а також коефіцієнти тепловіддачі ₁,₂; будемо вважати, що величини t_р1, t_р2; ₁,₂ – постійні і не міняються вздовж поверхні. Це дозволяє розглядати зміну температури рідин і стінки тільки у напрямку, перпендикулярному площині стінки.

При заданих умовах необхідно знайти тепловий потік від гарячої рідини до холодної і температури на поверхні стінки.

Питомий тепловий потік від гарячої рідини до стінки визначається рівнянням

.

При стаціонарному тепловому режимі той же питомий тепловий потік обумовлений теплопровідністю через тверду стінку,

.

Тепловий потік передається від другої стінки до холодної рідини за рахунок тепловіддачі:

,

тобто можна записати, що

. (54)

Розв’язуємо систему рівнянь (54) відносно термічних опорів ; ; ;

(55)

Додаючи ліві і праві частини системи і розв’язуючи отриманий вираз відносно q, знаходимо

(56)

Величина називається коефіцієнтом теплопередачі і має розмірність Вт/(м²К). Загальна кількість тепла, яка передана через стінку дорівнює:

. (57)

Рівняння (57) називається основним рівнянням теплопередачі, так як зв’язує теплове навантаження апарату Q з поверхнею теплообміну F.

Коефіцієнт теплопередачі характеризує інтенсивність переносу тепла від одного середовища до іншого через розділяючу стінку і чисельно дорівнює кількості теплової енергії, яка передається від одної рідини до іншої через одиницю поверхні розділяючої стінки, в одиницю часу і при різниці між температурами рідин, рівній одному градусу. Слід відмітити, що коефіцієнт k завжди менше меншого коефіцієнта тепловіддачі, тому для інтенсифікації теплообміну слід збільшувати менший коефіцієнт .

Величина, обернена коефіцієнту теплопередачі, називається повним термічним опором теплопередачі.

,

Із системи рівнянь:

(58)

можемо знайти температури стінок:

;

.

P. S. Для тонких металевих стінок величина / дуже мала, тому

(59)

При розв’язання задач відношення і звичайно невідомі і знаходяться методом послідовних наближень.