2.2. Рівняння руху (Навьє - Стокса)

Рисунок 6. До розгляду рівняння руху

Рівняння руху відображає другий закон Ньютона: зміна кількості руху елемента середовища дорівнює сумі всіх сил, діючих на елемент. Розглянемо виділений в одномірному потоці рідини елемент об’єму , дивись рисунок 6.

На елемент діє сила тяжіння різнична сила тиску , так як на верхній грані елементу тиск рідини дорівнює p, то на площадку діє сила

На нижній грані тиск з точністю до другого члена розкладу в ряд Тейлора дорівнює і на цю грань діє сила .

Знак “ − “ вказує на те, що сила діє проти напрямку руху рідини.

Рівнодіюча сил тертя визначається далі. Так як швидкість змінюється тільки в напрямку вісі ОУ, то сила тертя виникає на бокових гранях елементу рідини. Біля лівої грані швидкість руху частинок рідини менша, ніж у самому елементі, тому у перерізі сила тертя направлена проти руху і рівна . Біля правої грані, навпаки, швидкість руху частинок рідини більша, ніж у самому об’ємі, тому в перерізі сила тертя направлена в сторону руху.

Рівнодіюча всіх цих сил рівна:

. (22)

З іншої сторони, згідно з законом Ньютона ця рівнодіюча сила рівна:

. (23)

Підставляючи цей вираз у (22), отримаємо:

. (24)

Так як швидкість є функцією часу і координат, які в свою чергу залежать від часу, то, застосовуючи правило диференціювання складної функції, отримаємо:

. (25)

До отриманого рівняння необхідно додати рівняння, яке зв’яже виникаючі в рідині при її русі напруги з градієнтом швидкості, (Реологічне рівняння). Для рідин, які підкоряються закону Ньютона, це рівняння має вигляд:

, (26)

де  - коефіцієнт динамічної в’язкості рідини.

Підставивши (26) і (25), отримаємо:

. (27)

Рисунок.7 До розгляду поля швидкості

Коментар:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Стиснення рідин.

Ізотермічним стисненням або коефіцієнтом стиснення тіла при t = const. називають величину , яка являє собою відносну зміну густини речовини при зміні тиску.

Для крапельних рідин ізотермічне стиснення занадто мале. Так, наприклад, для води 1/Па, отже, підвищення тиску на 0,1 МПа викликає відносну зміну густини на 1/2000. Теж саме має місце і для інших крапельних рідин, що дозволяє знехтувати для них ізотермічним стисненням.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Поле швидкостей є полем векторної величини, в якому кожна з проекцій може змінюватись вздовж всіх координатних вісей, рисунок 7. Тому в загальному випадку трьохмірної течії, рівняння руху записується для кожної з проекцій і має вигляд:

(28)

(29) (30)

Ці рівняння називаються рівняннями Навьє-Стокса.

Розмірність кожного доданку Н/м³, тому ці доданки представляють собою сили діючі на одиницю об’єму рідини. При цьому перший член (локальний) рівняння характеризує нестаціонарність процесу, сили зв’язані зі зміною швидкості у часі в даній точці, а другий член – конвект ивний, відповідно, сили зв’язані з переміщенням рідини (сили інерції). Третій член рівняння характеризує сили тяжіння, четвертий – сили тиску (джерело змушеної течії) і п’ятий – сили в’язкості у рідині. Слід зазначити, що рівняння руху записано для нестисненої рідини. У рівнянні руху з’явився новий невідомий – тиск. Для того, щоб замкнути систему рівнянь, необхідно додати ще рівняння нерозривності.