- •3.1.2.1. Граничні умови першого роду 27
- •Частина 1
- •1. Основні поняття та визначення
- •2. Математична модель конвективного теплообміну
- •2.1. Рівняння енергії
- •2.2. Рівняння руху (Навьє - Стокса)
- •2.3. Рівняння нерозривності
- •2.4. Математична модель конвективного теплообміну. Умови однозначності
- •3. Окремі випадки розв’язання математичної
- •3.1. Стаціонарна теплопровідність
- •3.1.1. Теплопровідність плоскої необмеженої пластини
- •3.3.1.1. Граничні умови першого роду
- •3.1.1.2. Граничні умови третього роду. Теплопередача
- •3.1.2. Теплопровідність необмеженої циліндричної стінки
- •3.1.2.1. Граничні умови першого роду
- •3.1.2.2. Граничні умови третього роду (теплопередача)
- •3.2. Нестаціонарна теплопровідність
- •4. Конвективний теплообмін
- •4.1. Основи теорії подібності
- •4.2. Основні принципи методу аналізу розмірностей
- •4.3. Критерії гідродинамічної подібності
- •4.4. Критерії теплової подібності
- •4.5. Критеріальне рівняння конвективного теплообміну
- •4.6. Принципи отримання окремих критеріальних залежностей
- •4.7. Окремі випадки конвективного теплообміну
- •4.7.1. Теплообмін при течії у трубах
- •4.7.2. Теплообмін при поперечному обтіканні
- •4.7.3 Теплообмін при природній конвекції
- •5. Теплообмін при зміні агрегатного стану
- •5.1. Теплообмін при кипінні
- •5.2. Теплообмін при конденсації пари
- •6. Теплообмін при випромінюванні
- •7. Методика розрахунку теплообмінників
- •7.1. Класифікація теплообмінних апаратів
- •7.2. Основні положення і рівняння теплового розрахунку
- •7.3. Гідромеханічний розрахунок теплообмінних апаратів
- •Частина 2
- •1. Нагрівання, охолодження, конденсація
- •1.1. Загальні поняття та визначення
- •1.2. Гріючі агенти і способи нагрівання
- •1.2.1. Нагрівання водяною парою
- •1.2.2. Нагрівання гарячою водою
- •1.2.3. Нагрівання топковими газами
- •1.2.4. Нагрівання високотемпературними теплоносіями
- •1.2.5. Нагрівання електричним струмом
- •1.3. Охолоджуючі агенти, способи охолодження і конденсації
- •1.3.1. Охолодження до звичайних температур
- •1.3.2. Охолодження до низьких температур
- •1.3.3. Конденсація пари
- •2. Випарювання
- •2.1. Загальні поняття та визначення
- •2.2. Однокорпусні випарні установки
- •2.2.1. Матеріальний баланс
- •2.2.2. Тепловий баланс
- •2.2.3. Поверхня нагрівання
- •2.2.4. Температурні втрати і температура кипіння розчинів
- •2.3. Багатокорпусні випарні установки
- •2.3.1. Основні схеми багатокорпусних випарних установок (бву)
- •2.3.2. Матеріальний баланс
- •2.3.3. Тепловий баланс
- •2.3.4. Загальна корисна різниця температур і її розподіл по корпусах
- •2.3.5. Розподіл загальної корисної різниці температур за умови рівності поверхонь нагріву корпусів
- •2.3.6. Розподіл загальна корисна різниця температур за умови мінімальної сумарної поверхні нагрівання корпусів
- •2.3.7. Вибір числа корпусів
- •2.4. Будова випарних апаратів
- •2.5. Розрахунок багатокорпусних випарних установок
- •2.5.1. Наближений розрахунок
- •2.5.2. Схема розрахунку багатокорпусної випарної установки
- •2.5.3. Уточнений розрахунок
- •3.1. Загальні відомості
- •3.2. Основні параметри вологого повітря
- •3.4. Рівновага при сушінні
- •3.5. Вологість матеріалу і зміна його стану в процесі сушіння
- •3.6. Матеріальний і тепловий баланс сушіння
- •3.7. Графоаналітичний розрахунок процесу сушіння
- •3.8. Варіанти процесу сушіння
- •3.8.1 .Сушіння з частковим підігрівом повітря в сушильній камері
- •3.8.2. Сушіння з проміжним підігрівом повітря по зонах
- •3.8.3. Сушіння з частковою рециркуляцією відпрацьованого повітря
- •3.9. Швидкість і періоди сушіння
- •3.10. Зміна температури матеріалу в процесі сушіння
- •3.11. Інтенсивність випару вологи
- •3.11.1. Випар вологи з поверхні матеріалу
- •3.11.2. Переміщення вологи у середині матеріалу
- •3.12. Тривалість процесу сушіння
- •3.13. Конструкції сушарок
- •4. Холодильні процеси
- •4.1. Термодинамічні основи одержання холоду
- •4.2. Методи штучного охолодження
- •Основна
- •Додаткова
- •Теплові процеси та апарати
2. Математична модель конвективного теплообміну
Вивчення будь-якого фізичного явища зводиться до встановлення залежності між величинами, які характеризують це явище. Для складних фізичних процесів в яких визначаємі величини можуть суттєво змінюватись у просторі і часі встановити залежність між ними дуже складно. У цих випадках на допомогу приходить метод математичної фізики, який виходить з того, що обмежується проміжок часу і з усього простору розглядаємо лише елементарний об’єм, це дозволяє в межах елементарного об’єму і вибраного малого проміжку часу знехтувати зміною деяких величин, характеризуючих процес і суттєво спростити залежність. Вибраний таким чином елементарний об’єм dV і елементарний проміжок часу d в межах якого розглядаємо вивчаємий процес, з математичної точки зору є величини нескінченно малі, а з фізичної точки зору – достатньо великими, щоб в їх межах можна було ігнорувати дискретну будову середовища, отже, розглядаємо його, як суцільне середовище. Отримана таким чином залежність є загальним диференційним рівнянням процесу.
Інтегруючи диференційне рівняння можна отримати аналітичну залежність для всієї області інтегрування і всього розглядаємого проміжку часу. Для полегшення виведення диференційного рівняння зробимо наступні припущення:
тіло однорідне і ізотропне;
фізичні параметри постійні;
деформація розглядаємого об’єму, яка пов’язана зі зміною температури дуже мала у порівнянні з самим об’ємом Cv=Cp;
внутрішні джерела теплоти у тілі, які в загальному випадку можуть бути задані у такому вигляді qv=f (x,y,z,), розподіляються рівномірно.
Поняття конвективного теплообміну охоплює процес теплообміну при русі рідини або газу. При цьому перенос тепла здійснюється одночасно конвекцією і теплопровідністю.
Під конвекцією теплоти розуміють перенос теплоти при переміщенні макрочастинок рідини або газу у просторі із області з однією температурою в область з іншою температурою. Конвекція можлива тільки в текучому середовищі, в якому перенос теплоти нерозривно пов’язаний з переносом самого середовища.
2.1. Рівняння енергії
Рівняння енергії відображає закон збереження енергії, відповідно якому зміна внутрішньої енергії елементарного об’єму середовища dQ дорівнює сумі енергій, яка підводиться теплопровідністю та конвекцією dQ1, внутрішніх джерел dQ2 та енергія,яка виділяється внаслідок внутрішнього тертя частинок рідини при її русі (енергія дисипації) dQ3.
Рисунок 3. До виведення рівняння енергії
dQ=dQ1+dQ2+dQ3. (9)
Виділимо в середовищі, що рухається нерухомий елемент (Рисунок 3) – паралелепіпед зі сторонами dx, dy, dz. Паралелепіпед розташований таким чином, що його грані паралельні відповідним координатним площинам. Далі розглянемо доданки попереднього рівняння. Сумарна кількість енергії, яка підведена шляхом теплопровідності і конвекції через кожну із трьох граней паралелепіпеду рівна:
dQ1=dQx+dQy+dQz. (10)
В проекції на вісь ОХ маємо:
- кількість енергії підведеної до граней елементарного об’єму за час d у напрямку вісі ОХ;
- кількість енергії, яка буде відводитись через протилежні грані у напрямку вісі ОХ.
Так як,
(11)
Для вісі ОХ маємо,
.
Так як функція є суцільною і неперервною в розглядаємому інтервалі dx то може бути розкладена в ряд Тейлора:
Аналогічно отримаємо подібні вирази для вісей ОУ та ОZ.
Складаючи одержимо:
. (12)
Тепловий потік є сумою теплових потоків, які отримуються за рахунок теплопровідності та конвекції. Для вісі ОХ маємо:
. (13)
Теплоємність при постійному об’ємі рівна теплоємності при постійному тиску ,
де - складова швидкості у напрямку вісі ОХ;
- густина речовини;
- теплоємність при постійному об’ємі.
Після диференціювання маємо:
. (14)
Аналогічно отримаємо вирази для і .
Додаючи це все отримаємо:
(15)
Зміна енергії внутрішніх джерел
, (16)
де qv - питома енергія внутрішніх джерел.
Розглянемо рух рідини між нерухомою і рухомою пластинами внаслідок прилипання рідини до стінок швидкість її змінюється від нуля до швидкості Wx. Завдяки зміні швидкості відбувається зрушення шарів рідини один віднсно іншого, внаслідок чого виділяється теплота дисипації. Кількість цієї теплоти пропорційна градієнту швидкості зрушення.
Розглянемо елементарний об’єм рідини на грані, якого діють сили, які можна спроектувати на координатні вісі і розділивши проекції на площину граней отримаємо нормальні і дотичні напруги .
Рисунок 4. До розгляду рівняння енергії
З умови рівноваги сума моментів сил рівна нулю, тому дотичні напруги попарно рівні. Розглянемо добуток напруги на градієнт швидкості у напрямку дії цієї напруги. Отже, цей добуток являє собою енергію дисипації, викликану швидкістю зрушення в одиниці об’єму рідини. Виходячи з цього, сумарна енергій дисипації дорівнює:
(17)
Зміна внутрішньої енергії в елементарному об’ємі за час d дорівнює:
. (18)
Підставляючи (15),(16),(17),(18) у (8) і отримаємо наступне рівняння:
(19)
Це рівняння відображає закон збереження енергії і тому називається рівнянням енергії. Перший його член являє собою зміну енергії в одиниці об’єму у часі. Другий член, відповідно, характеризує, тепло, підведене в одиницю об’єму внаслідок теплопровідності, а третій член - внаслідок конвекції, четвертий член характеризує зміну енергії, яка пов’язана зі стисканням (або розширенням) рідини, а п’ятий—тепло, яке виділяється внаслідок дисипації. В подальшому ми будемо розглядати нестиснені рідини, для яких:
і Ср=Сv=C.
Для багатьох рідин, які зустрічаються у процесах біотехнології можна знехтувати енергією дисипації і внутрішніх джерел, і вважати, що теплофізичні властивості не залежать від температури. Тоді рівняння (19) набуває вигляд:
, (20)
де - коефіцієнт температуропроводності, який має розмірність:
Цей коефіцієнт характеризує теплоінерційні властивості тіла: при інших рівних умовах швидше нагрівається або охолоджується те тіло, яке має більший коефіцієнт температуропроводності. Ліва частина рівняння називається повною або матеріальною похідною. Скорочено рівняння (20) можна записати:
, (21)
де - Лапласіан другого порядку у декартові системі координат.
У рівнянні (20) невідомими є складові швидкості і температура - t. Для знаходження складових швидкості необхідно додати рівняння руху.