4.1. Основи теорії подібності

Теорія подібності – це теорія експерименту. Основна особливість якого полягає у вивченні явища з точним фіксуванням умов його здійснення та відтворення цього явища з повторенням цих умов. При цьому процеси, які протікають в установці, що проектується, на початку вивчаються на моделі, а потім результати досліджень на основі цієї теорії переносяться на реальну установку. Теорія подібності відповідає на наступні запитання: які величини вимірювати у дослідженнях, як обробляти результати досліджень і на які явища можна розповсюдити ці результати.

Подібність фізичних явищ означає подібність усіх величин, характеризуючих явище (геометрична подібність, подібність фізичних параметрів, подібність поля швидкостей і т.д.). Простішою величиною, характеризуючою подібність, є константа подібності - відношення однорідних величин у схожих точках простору в межах двох однорідних систем.

Інваріант подібності

Розглянемо геометрично подібні трикутники:

а) б) в)

Рисунок 17. До розгляду теорії подібності

Ця рівність справедлива для будь якої кількості подібних трикутників і називається інваріантом подібності.

Таким чином, інваріант подібності зберігає своє значення для нескінченної кількості подібних систем, у той час, як константа подібності втрачає своє значення при переході до нової подібної системи і справедлива тільки в межах двох подібних систем.

Найпростіший інваріантом подібності – співвідношення двох величин називається симплексом подібності.

У подібних системах кожна величина має відмінну від інших константу подібності, тому подібність фізичних явищ характеризується комплексом величин, які називаються критеріями подібності (наприклад, критерій Рейнольдса). Критерії подібності завжди безрозмірні, отримуються з диференціальних рівнянь, описуючих явище, і мають певний фізичний зміст.

Подібні явища мають однакові і рівні критерії подібності – це перша теорема подібності, яка відповідає на перше поставлене вище запитання: у дослідах потрібно вимірювати величини, які входять у критерій подібності. Друга теорема подібності формулюється так: залежність між змінними величинами у вигляді диференційних рівнянь може бути представлена у вигляді залежності між критеріями подібності, складеними з тих самих змінних. Ця теорема відповідає на запитання, як обробляти результати досліду: результати досліду потрібно обробляти у вигляді критеріїв подібності і представляти залежностями між цими критеріями з визначеними експериментально чисельними коефіцієнтами. Згідно третьої теореми подібними називаються явища, протікаючи у геометрично подібних системах, які підпорядковані одним і тим же рівнянням, які мають однакові умови однозначності і рівні критерії подібності. Ця теорема відповідає на запитання, на які явища дозволено переносити результати дослідів.

Перша теорема подібності була сформульована Ньютоном.

Друга теорема подібності була доведена Бекінгемом, Федерманом і Афанасьєвою-Еренфест.

Третя теорема подібності була сформульована М.В. Кирпичовим і

А.А. Гухманом.

Отже критерії подібності, які складаються тільки з величин, які входять в умови однозначності, називаються визначальними. Критерії, які включають також величини, які не є необхідними для однозначної характеристики даного процесу, а самі залежать від цих умов, називаються визначуваними.

Таким чином, дослідження процесів методом теорії подібності повинно складатись з наступних етапів:

1) Отримавши повний математичний опис процесу, тобто склавши диференційне рівняння і встановивши умови однозначності, проводять подібні перетворення цього рівняння і знаходять критерії подібності.

2) Дослідним шляхом на моделях встановлюють конкретний вигляд залежності між критеріями подібності, причому отримане загальне розрахункове рівняння справедливе для всіх подібних явищ в досліджуваних межах зміни визначальних критеріїв подібності.