2.3. Рівняння нерозривності

Рівняння нерозривності є математичним записом закону збереження маси. Розглянемо нерухомий об’єм рідини з гранями dx, dy, dz, рисунок 8. Через грань, перпендикулярну вісі Х, поступає

(31)

маси, а виходить

. (32)

Рисунок 8. До розгляду рівняння нерозривності

Залишок маси в об’ємі дорівнює різниці:

(33)

Записавши аналогічно для інших граней, отримаємо сумарний приток маси у елементі об’єму

, (34)

який являє собою зміну густини в елементі об’єму за час

. (35)

Порівнюючи обидва рівняння, отримаємо рівняння нерозривності:

. (36)

Для нестисненої рідини (=const) маємо:

. (37)

Таким чином, рівняння нерозривності замикає систему рівнянь конвективного теплообміну.

2.4. Математична модель конвективного теплообміну. Умови однозначності

Система рівнянь енергії, руху і нерозривності описує процес конвективного теплообміну і в скороченому записі має вигляд:

; (38)

; (39)

; (40)

; (41)

. (42)

Ця система рівнянь справедлива тільки для ламінарної течії рідини. Турбулентна течія суттєво відрізняється від ламінарної, наявністю пульсацій рідини у поперечному напрямку. Характерна картина пульсації швидкості і температури у розглянутій точці потоку при зміні часу приведена на рисунку 9.

Рисунок 9. До розгляду турбулентної течії

Таким чином, конвективне перенесення механічної і теплової енергії при турбулентному русі рідини, складається з осередненого і пульсаційного переносу, причому, пульсаційні складові залежать від тих же факторів, що й поле осереднених швидкостей і температур. Тому для аналізу також використовують систему рівнянь (38)…(42), в які підставляються осереднені у часі швидкості і температури, а пульсаційні складові враховуються введенням коефіцієнтів турбулентного переносу, які визначаються експериментально.

Приведена система рівнянь описує нескінченну множину процесів. Для її розв’язання у кожному конкретному випадку потрібно додати умови однозначності. Умови однозначності дають математичний опис усіх особливостей явища. Ці умови складаються з:

а) геометричних умов, характеризуючих форму і розміри об’єму, який розглядаємо;

б) фізичних умов, характеризуючих фізичні властивості середовища (в’язкість , теплопровідність , густина  і т. д.);

в) початкових умов, характеризуючих поля швидкостей і температур у початковий момент часу;

г) граничних умов, характеризуючих особливості протікання процесу на границі середовища.

При розв’язанні рівнянь гідродинаміки дуже часто використовують умову прилипання, тобто рівність нулю швидкості рідини біля твердої поверхні. При розв’язанні рівняння енергії можуть бути задані наступні граничні умови:

1. Граничні умови першого роду, коли задається значення температури на поверхнях, обмежуючих середовище. Задається розподілення температури на поверхні тіла для кожного моменту часу:

, (43)

де t_п - температура на поверхні тіла;

x,y,z - координати поверхні тіла.

У окремому випадку, коли температура на поверхні є величиною постійною протягом усього часу протікання процесів, то рівняння (43) спрощується і набуває вигляд .

2. Граничні умови другого роду, коли на поверхнях заданий тепловий потік, . У найпростішому випадку .

3. Граничні умови третього роду, у яких припускається, що тепловий потік на поверхнях пропорційний різниці температур поверхні і рідини, тобто характеризує закон теплообміну між поверхнею і навколишнім середовищем у процесі охолодження або нагрівання тіла.

, (44)

де n- нормаль до поверхні тіла;

(гран) - вказує на те, що градієнт відноситься до поверхні тіла (при n=0).

. (45)

4. Граничні умови четвертого роду застосовуються, коли на межі двох середовищ тепло передається теплопровідністю.

. (46)

Таким чином, система рівнянь (38)…(42) разом з умовами однозначності описує конкретні задачі конвективного теплообміну, які можуть вирішуватись аналітично, лічильними методами або методами теорії подібності.