2.6. Информация Фишера

Рассмотрим квантовую систему, для которой пси- функция действительна: . Использование таких пси- функций представляет собой простейший способ дополнения классической плотности распределения до квантового состояния. Для такой системы средний импульс равен нулю, а квадрат импульса есть:

Здесь штрих означает производную по .

Введем информацию Фишера, связанную с дисперсией импульса:

Тогда соотношение неопределенностей запишется в виде следующего неравенства:

Полученное неравенство аналогично неравенству Рао- Крамера, рассматриваемому в следующем разделе

2.7. Неравенство Рао- Крамера

Рассмотрим снова ситуацию, когда плотность распределения дополняется до квантового состояния. Пусть распределение вероятностей и соответствующее квантовое состояние зависят от некоторого действительного параметра , т.е.:

.

Пусть есть несмещенная оценка неизвестного параметра , основанная на выборке объема в координатном пространстве, т.е. .

Условие несмещенности означает, что среднее значение (математическое ожидание) выборочной оценки совпадает с истинным значением параметра , т.е.

Примерами несмещенных оценок могут служить известные оценки математического ожидания и дисперсии [31]:

Пусть - оператор, канонически сопряженный параметру .

Нашей целью является вывод следующего соотношения, называемого неравенством Рао-Крамера:

Здесь введена информация Фишера, которая имеет вид:

Воспользуемся тем, что вектор состояния для выборки может быть определен следующим выражением

Проведем подробные вычисления. Пусть - кет вектор, где , как и ранее, произвольный действительный параметр, - соответствующий бра- вектор.

Заведомо неотрицательное выражение есть:

Здесь для сокращения записи мы полагаем, что ,

В развернутой записи имеем:

,

где

Можно показать, что . Для этого достаточно представить подинтегральное выражение с помощью формулы для производной произведения в виде

Интеграл от первого слагаемого равен нулю в силу несмещенности оценки. В результате, учитывая условие нормировки, получаем, что .

Из условия для дискриминанта получаем искомый результат – неравенство Рао-Крамера [38- 40]:

Заметим, что мы провели вычисления не только для предполагаемого случая действительных векторов состояния, но и для более общего случая комплексных пси- функций.

В этом случае информация Фишера есть:

Информация Фишера является аналогом дисперсии импульса и отличается от последней множителем 4 и тем, что под интегралом идет дифференцирование по параметру, а не по координате.

Для случая действительных пси- функций, как нетрудно показать, имеет место приведенное выше выражение для информации Фишера (6). При выводе следует воспользоваться легко проверяемым свойством аддитивности информации Фишера (информация от независимых представителей в раз превосходит информацию от одного представителя).

Полученное неравенство, очевидно, является наиболее сильным для случая, когда информация Фишера минимальна. Как и в случае соотношения неопределенности Гейзенберга, можно показать, что добавление произвольного фазового множителя к действительной пси- функции не может привести к уменьшению информации Фишера.

Выше мы видели, что соотношение неопределенностей из неравенства превращается в равенство для гауссова состояния. Аналогичный результат справедлив и для неравенства Рао- Крамера. Последнее превращается в равенство для оценок, имеющих нормальное распределение и только для них. Такие оценки называются эффективными.

Выше мы предполагали несмещенность статистической оценки. Однако, проведенные выкладки позволяют также получить более общее неравенство Рао- Крамера, пригодное и для смещенных оценок. В этом случае оно имеет вид:

(2.1)

где - смещение оценки. (2.2)

Заметим, что в представленном неравенстве слева вместо обычной дисперсии стоит величина, которая характеризует рассеяние выборочной оценки относительно истинного значения .

Задача 2.1 Обоснуйте неравенство Рао- Крамера (2.1)- (1.2), учитывающее возможную смещенность оценки.