Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных статистических величин.

Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!

(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).

В настоящей главе мы увидим, что квантовые явления по самой своей объективной природе являются случайными и описываются статистическими закономерностями. В разделе 1.1 показано, что вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье-образа. Фундаментальное отличие квантовых статистических явлений от классических задает принцип дополнительности Н. Бора, рассмотренный в разделе 1.2. В разделе 1.3 с новой квантово-информационной точки зрения рассмотрен метод характеристических функций, известный уже в классической теории вероятностей. В разделе 1.4. показано, что квантово-информационная интерпретация характеристических функций позволяет определить фундаментальные для всей квантовой теории понятия операторов координаты и импульса.

1.1. Статистическая интерпретация прямого и обратного преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.

Пусть - произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве . Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля

Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:

(1.1)

(1.2)

Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции (т.е является тождественным преобразованием).

Замечание. Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции Дирака в виде интеграла Фурье:

(1.3)

Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в Приложении 1.

С комплексной функцией и её Фурье- образом можно связать распределения вероятностей.

Определим плотность распределения вероятности в исходном (координатном) представлении как:

(1.4)

Выражение (1.4) называется формулой Борна.

С помощью Фурье-образа можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:

Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство Парсеваля:

Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции

Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:

Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.

Заметим, что функция и ее Фурье- образ содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина “амплитуда вероятности” в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: “волновая функция”, “пси-функция”, “вектор состояния”).