3.П. Приложение. Разложение Шмидта и формализм матрицы плотности.
Пусть вектор
состояния (амплитуда вероятности)
составной системы
зависит от переменных двух подсистем.
Оказывается, что вектор состояния
составной системы может быть разложен
по векторам, относящимся к отдельным
подсистемам. Соответствующее представление
называется разложением Шмидта [1,2,37]:
(3.18)
Здесь
-
весовые (заведомо неотрицательные)
множители, удовлетворяющие условию
нормировки
Мы предполагаем, что слагаемые в разложении (3.18) представлены в порядке убывания (невозрастания) коэффициентов .
Разложение Шмидта
дает наглядный математический аппарат
для исследования запутанности. Например,
регистрация подсистемы №1 наблюдателем
в состоянии
означает, что подсистема №2 с необходимостью
будет зарегистрирована (наблюдателем
)
в состоянии
(при том же самом
).
Функции (векторы)
и
называются модами Шмидта. Предположим,
что каждая из подсистем описывается
гильбертовым пространством размерности
.
Тогда, каждый из наборов функций
и
(
)
будет полным набором, образующим
ортонормированный базис.
Опишем алгоритм
численной экстракции мод Шмидта. Пусть
матрица размера
с элементами
,
задающими амплитуду вероятности найти
подсистемы в базисных состояниях
и
соответственно. Введем матрицу
следующего
вида:
(3.19)
Найдем собственные функции и собственные значения матрицы . В результате, рассматриваемая матрица будет представлена в виде:
, (3.20)
Здесь - унитарная матрица, составленная из собственных векторов матрицы (каждый столбец матрицы есть некоторый собственный вектор матрицы ). Матрица есть диагональная матрица, составленная из собственных значений матрицы . Будем предполагать также, что выстроены на диагонали в порядке убывания (невозрастания).
Диагональные элементы матрицы есть искомые весовые множители разложения Шмидта. При этом мода дается - ым столбцом матрицы .
Для нахождения
мод
введем матрицу
согласно
формуле:
(3.21)
В задачах высокой
размерности матрица
,
как правило, содержит элементы, практически
равные нулю. Это может приводить к
формальному делению на ноль при вычислении
матрицы
.
Для предотвращения этого явления можно
поступить двумя практически эквивалентными
способами. Можно вводить небольшие
ненулевые слагаемые ( например, порядка
-
)
в диагональ
.
Результаты фактически не зависят от
уровня «малости» вводимых величин (они
нужны только для того, чтобы избежать
деления на машинный ноль). Те же результаты
можно получить, если «урезать» размерность
матрицы
,
оставив в ней на диагонали только
заведомо ненулевых элементов
(при этом в матрице
также
необходимо оставить только первые
столбцов).
Теперь для получения моды остается только взять - ую строку матрицы .
С использованием матриц и матрица амплитуд вероятностей может быть записана в виде:
(3.22)
где
-
диагональная матрица, неотрицательные
диагональные элементы которой
расположены
в порядке убывания (невозрастания).
Разложение (3.22) есть сингулярное
разложение матрицы (singular
value
decomposition,
сокращенно- svd),
а параметры
-
сингулярные значения (singular
values)
матрицы.
Представленный алгоритм показывает, что определение мод Шмидта есть самосогласованная по переменным подсистем процедура. Так, каждый столбец матрицы (каждая мода ) определяется с точностью до независимого несущественного фазового множителя. Добавление такого множителя, однако, приведет, согласно (3.21), к согласованному изменению фазы моды , запутанной с исходной модой.
Задача 3.1 Явным расчетом покажите, что алгоритм, задаваемый формулами (3.19)- (3.22) действительно определяет разложение Шмидта (3.18) для составной системы.