- •Предисловие
- •Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных статистических величин.
- •1.1. Статистическая интерпретация прямого и обратного преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
- •1.2. Принцип дополнительности н. Бора
- •1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов. Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
- •1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения
- •Глава 2. Точность статистических характеристик гильбертова пространства
- •2.1. Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация
- •2.2.Неравенство Коши- Буняковского в приложении к случайным величинам
- •2.3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса
- •2.4. Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона
- •2.5. Многомерное соотношение неопределенностей
- •2.6. Информация Фишера
- •2.7. Неравенство Рао- Крамера
- •2.8. Многомерное неравенство Рао- Крамера и корневая оценка
- •Глава 3. Принципы квантовой информатики и шестая проблема Гильберта
- •3.1 Постулаты квантовой информатики
- •3.2 От квантовой информатики к квантовой физике
- •3.3. Шестая проблема Гильберта
- •3.4 Обсуждение
- •3.П. Приложение. Разложение Шмидта и формализм матрицы плотности.
- •Основная числовая характеристика, связанная с разложением Шмидта есть число Шмидта , которое характеризует эффективное число мод в разложении:
- •Глава 4. Основные логические элементы квантовой информатики и их свойства
- •4.2. Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота.
- •4.3. Система кубитов
- •4.4. Измерение кубитов
- •4.5. Простейшие квантовые логические элементы
- •4.6. Преобразование Уолша-Адамара (Walsh-Hadamar Transformation)
- •4.8. Состояния Белла
- •Состояния Белла относят к классу так называемых эпр состояний. Такой термин возник в связи с парадоксом (эффектом) Эйнштейна - Подольского – Розена, который рассматривается ниже.
- •4.9 Парадокс (эффект) Эйнштейна - Подольского - Розена
- •4.10 Неравенство Белла
- •4.11. Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс.
- •Глава 5. Некоторые алгоритмы квантовой информатики
- •5.1. Сверхплотное кодирование.
- •5.2. Телепортация
- •5.3. Квантовый параллелизм. Алгоритмы Дойча и Дойча- Джозсы.
- •5.4. Квантовое преобразование Фурье.
- •5.5. Нахождение периода функции
- •5.6 Факторизация чисел
- •5.7. Квантовая криптография
- •5.8. Алгоритм Гровера
- •5.9 Введение в квантовое исправление ошибок
4.11. Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс.
Мы рассмотрим физическую реализацию кубита на примере квантовой системы со спиновым магнитным резонансом.
На основе уравнения Дирака можно показать, что наличие спина у электрона приводит к появлению у него магнитного момента. Соответствующий гамильтониан взаимодействия магнитного момента с магнитным полем есть:
, где
Пусть магнитное поле есть комбинация однородного поля , направленного вдоль оси и поля , вращающегося в плоскости :
Для определенности будем иметь ввиду электрон. С учетом отрицательного знака заряда электрона, имеем:
, где
Уравнение Паули, представляющее собой модификацию уравнения Шредингера с учетом спина электрона, есть:
,
где - двухкомнонетнный спинор.
Пусть , - соответственно продольная и поперечная частоты.
Тогда уравнение Паули примет вид:
,
где - оператор частоты.
Осуществим переход к другим (медленным) переменным посредством преобразования
Рассматриваемое преобразование называется переходом во вращающуюся систему координат. Для новой переменной получим уравнение:
Учтем, что (см. формулу (4.4) раздела 4.2):
Тогда, рассматриваемое уравнение примет вид:
Его решение, очевидно, есть:
Последняя формула описывает поворот квантового состояния на сфере Блоха.
Ось поворота и угол вращения есть:
, ,
Где - частота Раби
Наиболее простая динамика спина- кубита будет наблюдаться в условиях резонанса, когда
. Практически такой резонанс достигается обычно путем медленного изменения продольного поля .
В условиях резонанса в рассматриваемом примере происходит вращение состояния кубита вокруг оси
Задача 4.18 Пусть начальное состояние кубита есть , что соответствует «северному полюсу» на сфере Блоха. Покажите, что в условиях резонанса, чтобы перевести кубит из состояния в состояние , достаточно выждать в течении времени (так называемый - импульс). Аналогично, покажите, что воздействие в течении приводит к повороту состояния на угол вокруг оси , что соответствует преобразованию состояния в состояние
Динамика кубита может быть представлена в виде:
Задача 4.19 Пусть начальное состояние кубита есть . Покажите, что вероятность переворота спина (спин- флип) есть:
Среднее по времени от полученной вероятности есть:
Последнее выражение, рассматриваемое как функция , описывает резонанс на частоте .
Заметим, что в реальных экспериментах, как правило,
Приведём некоторые данные, необходимые для проведения численных оценок
Магнитный момент электрона:
, где
- магнетон Бора.
Небольшое отличие отношения от единицы называется аномальным магнитным моментом электрона. Теоретическое объяснение этого эффекта, согласующееся с экспериментом с очень высокой точности, является важным достижением квантовой электродинамики.
Магнитный момент протона есть:
, где
- ядерный магнетон
Большое отличие магнитного момента протона от ядерного магнетона является следствием сложной (кварковой) структуры частицы (заметим, что в теории Дирака частица предполагается точечной).
Нейтрон, несмотря на нулевой заряд, также обладает магнитным моментом, который равен (в ядерных магнетонах)
Оценим типичные частоты, возникающие при магнитном резонансе
Пусть продольное поле есть:
Тогда для электрона получаем: ,
Резонансная частота есть:
Аналогично для протона:
,
Резонансная частота протона: