3.3. Шестая проблема Гильберта

В знаменитом докладе Д. Гильберта «Математические проблемы», прочитанном 8 августа 1900 г. в Париже на 2-ом Международном конгрессе математиков, были сформулированы задачи, оказавшие существенное влияние на развитие математики и связанных с ней наук в XX веке.

Всего Гильберт поставил 23 проблемы, из которых для нас наибольший интерес представляет 6-ая проблема, сформулированная как «математическое изложение аксиом физики».

«С исследованиями по основаниям геометрии», говорится в докладе, «близко связана задача об аксиоматическом построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика.

Что касается аксиом теории вероятностей, то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних значений в математической физике, в частности в кинетической теории газов» ([58] с.415).

Сегодня, по прошествии более ста лет с момента постановки задачи, можно сказать, что слова Гильберта, прозвучавшие на рубеже XIX и XX веков, были почти пророческими.

Примечательно, что математическая формулировка основ теории вероятностей связывается Гильбертом в единый конгломерат с наукой о микромире. В то время в роли таковой выступала молекулярно- кинетическая теория, основы которой были заложены Максвеллом и Больцманом. Заметим, что всего через несколько месяцев после Гильберта был прочитан еще один доклад, который положил начало новой (квантовой) эре. Этот доклад был прочитан М. Планком 14 декабря 1900 г. на заседании немецкого физического общества.

Гильберт в своем докладе говорит, что искомая аксиоматическая теория вероятностей должна быть построена по аналогии с геометрией. Геометрия гильбертова пространства, заложенная в работах Гильберта, Шмидта и других ученых, как раз, и есть, как мы видели, основа квантовой информатики.

Заметим также, что при построении физических аксиом по образцу аксиом геометрии, как считает Гильберт, «возможно возникнет принцип классификации, который сможет использовать глубокую теорию бесконечных групп преобразования Ли» ([58], с.416). Очевидно, что Гильберт оказался прав и в этом своем предсказании, поскольку важность групп Ли в современной квантовой теории хорошо известна.

Отметим, наконец, что в качестве важной задачи Гильберт видит математически строгое описание перехода от микромира к макромиру. Здесь, по мнению Гильберта, в основу может быть положена «книга Больцмана о принципах механики, в которой следовало бы строго математически обосновать и провести те изложенные в ней процессы предельного перехода, которые ведут от атомистического понимания к теории движения твердого тела» ([58] с.415). Несмотря на колоссальный прогресс, достигнутый в понимании микромира в XX столетии, вопрос математического обоснования соответствующего предельного перехода от описания микроявлений к описанию макромира все еще остается дискуссионным (см., например, [59]).

Постановка 6-ой проблемы Гильбертом не была просто гениальной догадкой одного выдающегося человека. Актуальность рассматриваемой задачи определялась состоянием науки на рубеже XIX и XX веков. Так, знаменитая H- теорема, направленная на механико- статистическое обоснование второго начала термодинамики, была сформулирована Больцманом еще в 1872 г. [60]. Эта работа вызвала жаркие многолетние дискуссии. С резкой критикой работы Больцмана выступили многие известные ученые, в том числе выдающийся математик и теоретик естествознания А. Пуанкаре. Проблема заключалась в том, что обратимость законов классической механики вступала в противоречие с необратимым характером второго начала термодинамики. Хотя с физической точки зрения ответы Больцмана на возражения против его теории были весьма убедительны, с принципиальной математической точки зрения вопрос оставался открытым. Любой симбиоз представлений классической механики и статистики неизбежно оказывался непоследовательным и внутренне противоречивым. Отметим, в то же время, что подход Больцмана к статистической термодинамике не был чисто классическим. В той же, посвященной H- теореме работе [60], Больцман за 28 лет до Планка использовал (в методических целях) представления о квантованном характере энергии. Как мы теперь понимаем, любые попытки объединения механики и статистики логически должны были вести к квантовым представлениям (пусть и в неявной форме, как у Больцмана). Таким образом, на рубеже XIX и XX столетий, Гильберту и другим ученым было ясно, что развитие механики, теории вероятностей и молекулярно- кинетической теории не могло далее проходить независимо. Прогресс науки настоятельно требовал объединения указанных разделов, однако такое объединение неизбежно оказывалось противоречивым. Формулируя свою знаменитую 6-ую проблему, Гильберт, вероятно, надеялся путем аксиоматизации снять имеющиеся трудности и получить единую универсальную непротиворечивую теорию. На роль такой теории, как мы видим сегодня, вполне может претендовать квантовая информатика.