4.6. Преобразование Уолша-Адамара (Walsh-Hadamar Transformation)

В квантовой информатике очень широко используется следующее однокубитовое преобразование – так называемое преобразование Адамара. Оно определяется как:

Задача 4.9 Покажите, что

.

Докажите следующие тождества:

Преобразование, которое обеспечивает приложение к каждому из кубитов квантового регистра, называется преобразованием Уолша- Адамара:

Задача 4.10 Докажите свойство преобразования Уолша- Адамара, которое дается формулой:

Результат этой задачи часто используется при разработке квантовых алгоритмов (см. главу 5).

4.7. Теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния

Свойство линейности унитарных квантовых преобразований приводит к невозможности копирования (клонирования) информации в квантовом компьютере. Рассматриваемая теорема является одним из краеугольных камней квантовой информатики.

Доказательство проведем от противного. Предположим, что - унитарное преобразование, осуществляющее клонирование. Такое преобразование действовало бы по правилу для любого квантового состояния . Здесь запись и может означать не только однокубитовые, но и многокубитовые состояния.

Пусть и - два ортогональных квантовых состояния. Если - оператор клонирования, то , . Рассмотрим теперь состояние, являющееся суперпозицией исходных состояний .

Тогда, в силу линейности унитарного преобразования

(4.5)

Кроме того, по предположению, есть оператор клонирования, который должен действовать в том числе и на состояния . Поэтому:

(4.6)

Состояние, задаваемое формулой (4.6), очевидно, не совпадает с состоянием, задаваемым формулой (4.5). Получено противоречие, что и доказывает теорему.

Важно понимать какое состояние возможно реализовать, а какое нет. Можно приготовить квантовое состояние, которое известно нам заранее. Принцип невозможности клонирования говорит о невозможности клонировать неизвестное состояние.

Заметим также, что можно создавать запутанное состояние из неизвестного состояния . Пример реализации такого рода запутанного состояния дается квантовой схемой, изображенной на рисунке.

Рис. 4.4 Квантовая схема генерации запутанного состояния

Рассматриваемое двухкубитовое состояние не является, однако, реализацией схемы клонирования однокубитового состояния . В силу запутанности, кубиты в состоянии оказываются связанными друг с другом: если один оказался при измерении, например, в состоянии , то и второй окажется в том же состоянии.

Задача 4.11 Обобщите представленную выше на рисунке квантовую схему, т.е. придумайте схему, позволяющую создавать запутанное состояние из неизвестного состояния для случая трех и более кубитов.

Настоящим клоном было бы состояние частиц вида , созданное из неизвестного состояния . Это, однако, невозможно в силу доказанной выше теоремы.

Теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния символизирует принципиально важную роль статистических методов в квантовой информатике. Действительно, если бы рассматриваемое здесь клонирование было возможно, то, имея в распоряжении только одного представителя, мы могли бы создать сколь угодно много его копий. Проведя измерения над этими копиями, мы смогли бы сколь угодно точно восстановить квантовое состояние и любые его характеристики. Другими словами, нам не нужен был бы статистический ансамбль для проведения взаимно- дополнительных измерений, поскольку такой ансамбль всегда можно было бы воссоздать, имея под рукой всего одного представителя. Это противоречило бы таким принципам статистики, как неравенство Рао- Крамера. В действительности, уже простейшее однокубитовое состояние содержит в себе бесконечное (континуальное) количество информации в том смысле, что описывается комплексными бесконечно- значными числами (такими, как и ). Измерение отдельного представителя приводит к редукции его квантового состояния и соответствующей потере информации о комплексных амплитудах. Однако, одновременно с этим исследователь получает некоторое элементарное количество информации (в каком из возможных базисных состояний обнаруживается квантовая система). Для точного восстановления квантового состояния потребуется бесконечное число представителей. В реальных задачах всегда имеется конечный объем экспериментальных данных и, соответственно, возможна только приближенная оценка квантового состояния. Точность восстановления квантового состояния оказывается тем выше, чем больше число представителей статистического ансамбля подвергается измерениям (и разрушению исходных квантовых состояний). Подробно задача статистического восстановления квантовых состояний рассмотрена в работах [30, 43, 44, 51, 52].