Глава 2. Точность статистических характеристик гильбертова пространства

Смотри в корень!

(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №228).

В настоящей главе мы увидим, что различного вида неравенства Коши- Буняковского, соотношения неопределенностей, а также неравенства Рао- Крамера получаются, по-существу, с помощью одного и того же математического приема, сводящегося к элементарному требованию неотрицательности некоторого квадратного трехчлена. В разделах 2.1- 2.3 с использованием принципов квантовой информатики излагаются элементарные сведения, связанные с неравенством Коши- Буняковского и соотношением неопределенностей. В разделе 2.4 представлено так называемое соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона. В разделе 2.5 рассмотрено многомерное соотношение неопределенностей. Информация Фишера и неравенство Рао- Крамера, известные еще из классической математической статистики, изучаются в разделах 2.6- 2.8 с новой квантово- информационной точки зрения.

2.1. Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация

Рассматриваемое неравенство имеет место для векторов произвольных линейных пространств, в которых определено понятие скалярного произведения. Приведем примеры таких пространств.

В комплексном конечномерном пространстве размерности скалярное произведение двух векторов определяется следующей формулой (в обозначениях Дирака):

В бесконечномерном гильбертовом пространстве аналогичное определение имеет вид:

Наконец, если и - комплексные функции из пространства , то их скалярное произведение есть:

Покажем, что для любых векторов линейного пространства со скалярным произведением выполняется следующее неравенство Коши- Буняковского:

Для определенности, при проведении выкладок будем иметь ввиду функции из пространства .

Предположим вначале, что скалярное произведение - действительное число.

Пусть - действительный параметр. Рассмотрим следующую заведомо неотрицательную функцию от (эта функция представляет собой интеграл от заведомо неотрицательного выражения).

В обозначениях Дирака имеем:

В развернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:

Здесь мы учли предположение о действительности рассматриваемого скалярного произведения, т.е. .

Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:

Таким образом в рассматриваемом случае выполняется неравенство Коши- Буняковского:

Предположим теперь, что - комплексное число. Пусть , где и - действительные числа.

Введем функцию, отличающуюся от только фазой

Тогда является действительным числом и для него выполняется доказанное выше неравенство:

Учтем, что введенное фазовое преобразование не меняет модуля скалярного произведения, поэтому: , .

Таким образом, неравенство Коши- Буняковского выполняется и в общем случае:

Введем величину , называемую согласованностью (fidelity) квантовых состояний и .

Для состояний, нормированных на единицу, имеем просто:

Из неравенства Коши- Буняковского следует, что

Если исходить из этого неравенства, то заманчиво предположить, что задает некоторую вероятность. Так оно и есть. Статистический смысл величины заключается в том, что она задает вероятность обнаружения квантовой системы в состоянии при условии, что она была приготовлена в состоянии

Обмен информацией в природе предполагает, что состояние , приготовленное (созданное) на одном конце (в системе «передатчик») может быть обнаружено (воспринято) таковым в другой системе-«приёмнике». В идеальном случае «приемник» может быть настроен на получение того же квантового состояния, когда (с точностью до фазового множителя). В этом случае . В действительности состояния и , на которые настроен приемник и передатчик соответственно, всегда хотя бы немного отличаются и . В рассматриваемом случае, таким образом, задает вероятность «успеха» приемно- передающего акта.