4.4. Измерение кубитов

Измерение в квантовой системе, состоящей из одного или более кубитов, есть результат проектирования состояния системы до измерения в гильбертово подпространство, совместимое с измеренными значениями. При измерении, как уже отмечалось выше в главе 3, происходит редукция состояния. Амплитуда вероятности проекции, полученной в результате редукции, пересчитывается таким образом, чтобы снова быть нормированной на единицу.

В силу Постулата 3 (раздел 3.1), вероятность того, что результат измерения примет заданное значение, есть сумма квадратов модулей амплитуд вероятности всех компонент, совместимых с результатом измерения.

Рассмотрим для примера измерения в системе из двух кубитов. Вектор состояния такой системы в общем случае есть:

Здесь - произвольные комплексные числа, удовлетворяющие условию нормировки:

Пусть измеряется первый кубит. Вероятность обнаружить его в состоянии есть , а в состоянии соответственно . Если измерение первого кубита дало , то редуцированное состояние окажется пропорциональным вектору . После нормировки получим окончательно для состояния после рассматриваемого измерения:

Измерения запутанных и незапутанных состояний принципиально отличаются друг от друга. С точки зрения концепции измерений, кубиты оказываются незапутанными, если измерение одного из них никак не влияет на состояние другого и, напротив, кубиты обязательно будут запутаны, если такое влияние существует.

Рассмотрим, например, состояние , которое не является запутанным, т.к. может быть представлено в виде тензорного произведения отдельных кубитов . Здесь, очевидно, измерение первого кубита никак не влияет на состояние второго и наоборот.

Рассмотрим, напротив, состояние , которое является запутанным. Теперь, результат измерения одного из кубитов влияет на то, какое состояние возникнет у второго кубита. Так, если первый кубит окажется в состоянии , то и второй автоматически окажется в состоянии , если же в результате измерения первого кубита будет получено состояние , то и второй кубит обязательно будет обнаружен в состоянии . Рассматриваемое состояние является одним из так называемых состояний Белла. Подробнее свойства таких состояний будут описаны в разделах 4.8- 4.10

4.5. Простейшие квантовые логические элементы

Любые квантовые вычисления сводятся к унитарным преобразованиям системы кубитов. В силу линейности, преобразование полностью определяется действием на соответствующие базисные векторы.

Рассмотрим вначале некоторые полезные преобразования квантового состояния отдельных кубитов. Ниже приведены такие преобразования и соответствующие им матрицы.

Мы везде используем стандартный (канонический) базис:

Тождественное преобразование задается единичной двумерной матрицей

Матрицы Паули задают следующие преобразования:

Заметим, что матрицы Паули одновременно являются эрмитовыми и унитарными, поэтому унитарны и все указанные выше преобразования.

Элемент Паули есть оператор отрицания (negation), он осуществляет обмен состояниями, т.е. преобразует ноль в единицу и наоборот. Элемент задает оператор фазового сдвига (phase shift). Преобразование определяется произведением указанных операторов, поскольку .

Рассмотрим теперь важнейший для квантовых вычислений логический элемент- так называемое управляемое – НЕ (Controlled-Not) преобразование. Преобразование CNOT действует не на один, а одновременно на два кубита следующим образом: CNOT изменяет состояние второго (управляемого) кубита, если первый (управляющий) находится в состоянии , т.е.

Оператор CNOT также унитарен и эрмитов одновременно. Рассматриваемое преобразование является принципиально новым по сравнению с однокубитовыми преобразованиями, т.к. матрица CNOT не может быть разложена в тензорное произведение двух однокубитовых матриц.

Удобно иметь графическое представление преобразований квантового состояния, особенно когда эти преобразования связаны с взаимодействием нескольких кубитов. CNOT- элемент обычно изображается на квантовых логических схемах в виде следующей картинки

Рис. 4.1 Графическое изображение двухкубитового элемента CNOT

Здесь значок соответствует управляющему кубиту, а значок - управляемому кубиту.

Аналогично можно определить элемент Control-Control-Not (CCNOT), который соответствует преобразованию, меняющему третий бит, когда оба первые есть (см. рисунок). Это так называемый элемент Тоффоли.

Рис. 4.2 Графическое изображение элемента Тоффоли

Действие элемента Тоффоли на базисные состояния и соответствующая унитарная матрица задаются следующим образом.

Однокубитовые преобразования изображаются графически, например, так:

Рис. 4.3 Примеры графических изображений однокубитовых квантовых элементов.

Оказывается, что любое унитарное преобразование- вычисление в системе кубитов можно выполнить с помощью так называемых универсальных наборов квантовых логических элементов [13,14]. Например, произвольное унитарное вращение состояния отдельного кубита и двухкубитовая операция CNOT могут рассматриваться в качестве такого универсального набора.