- •Предисловие
- •Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных статистических величин.
- •1.1. Статистическая интерпретация прямого и обратного преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
- •1.2. Принцип дополнительности н. Бора
- •1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов. Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
- •1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения
- •Глава 2. Точность статистических характеристик гильбертова пространства
- •2.1. Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация
- •2.2.Неравенство Коши- Буняковского в приложении к случайным величинам
- •2.3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса
- •2.4. Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона
- •2.5. Многомерное соотношение неопределенностей
- •2.6. Информация Фишера
- •2.7. Неравенство Рао- Крамера
- •2.8. Многомерное неравенство Рао- Крамера и корневая оценка
- •Глава 3. Принципы квантовой информатики и шестая проблема Гильберта
- •3.1 Постулаты квантовой информатики
- •3.2 От квантовой информатики к квантовой физике
- •3.3. Шестая проблема Гильберта
- •3.4 Обсуждение
- •3.П. Приложение. Разложение Шмидта и формализм матрицы плотности.
- •Основная числовая характеристика, связанная с разложением Шмидта есть число Шмидта , которое характеризует эффективное число мод в разложении:
- •Глава 4. Основные логические элементы квантовой информатики и их свойства
- •4.2. Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота.
- •4.3. Система кубитов
- •4.4. Измерение кубитов
- •4.5. Простейшие квантовые логические элементы
- •4.6. Преобразование Уолша-Адамара (Walsh-Hadamar Transformation)
- •4.8. Состояния Белла
- •Состояния Белла относят к классу так называемых эпр состояний. Такой термин возник в связи с парадоксом (эффектом) Эйнштейна - Подольского – Розена, который рассматривается ниже.
- •4.9 Парадокс (эффект) Эйнштейна - Подольского - Розена
- •4.10 Неравенство Белла
- •4.11. Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс.
- •Глава 5. Некоторые алгоритмы квантовой информатики
- •5.1. Сверхплотное кодирование.
- •5.2. Телепортация
- •5.3. Квантовый параллелизм. Алгоритмы Дойча и Дойча- Джозсы.
- •5.4. Квантовое преобразование Фурье.
- •5.5. Нахождение периода функции
- •5.6 Факторизация чисел
- •5.7. Квантовая криптография
- •5.8. Алгоритм Гровера
- •5.9 Введение в квантовое исправление ошибок
2.2.Неравенство Коши- Буняковского в приложении к случайным величинам
Пусть и - действительные случайные величины, представляющие собой произвольные функции от координаты . Пусть - действительный параметр. Рассмотрим заведомо неотрицательную функцию от :
В развернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:
Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:
Таким образом для любых (коммутирующих) случайных величин выполняется неравенство Коши- Буняковского:
В частности, если в качестве случайных величин рассмотреть величины и , приведенные к нулевым средним значениям, то для дисперсий получим неравенство:
.
Из последнего выражения следует неравенство для коэффициента корреляции
Напомним, что коэффициент корреляции между случайными величинами и определяется формулой:
Квадрат коэффициента корреляции иногда называют коэффициентом детерминации. Этот коэффициент показывает, в какой мере случайная величина определяет (детерминирует) случайную величину и наоборот.
Можно показать, что неравенство Коши- Буняковского обращается в равенство в том и только том случае, когда случайные величины и линейно связаны между собой.
2.3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса
Модифицируем приведенный выше пример. Рассмотрим вместо выражение . Заметим, что оператор производной не является эрмитовым, потому что . Чтобы запись сделать более наглядной введем эрмитов оператор импульса .
Рассмотрим как и при выводе неравенства Коши- Буняковского заведомо неотрицательную функцию от действительного параметра
В развернутой записи имеем:
Учтем каноническое коммутационное соотношение
В качестве наблюдаемых рассмотрим величины и , которые, очевидно, удовлетворяют тому же коммутационному соотношению. Тогда для произведения дисперсий координаты и импульса получим искомое соотношение неопределенностей Гейзенберга :
Дисперсия импульса есть средний квадрат импульса минус средний импульс в квадрате:
В развернутой записи средний квадрат импульса есть:
Как следует из приведенных выкладок, неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда при некотором :
Это равенство имеет место только для гауссова состояния (основного состояния гармонического осциллятора).
Решение полученного уравнения в координатном и импульсном представлении соответственно есть:
Здесь и - соответственно среднее и дисперсия для распределения координаты, а и - соответственно среднее и дисперсия для распределения импульса.
Дисперсия координаты и импульса полученного гауссовского состояния определяются введенным параметром
,
Таким образом, рассматриваемые величины оказываются связанными между собой минимальным соотношением неопределенностей:
Мы видим, что состояние, минимизирующее соотношение неопределенностей, описывается действительной функцией. Это обстоятельство неслучайно. Нетрудно видеть, что добавление произвольного фазового множителя к действительной координатной пси- функции не может уменьшить дисперсию импульса и, таким образом, не может усилить рассматриваемое неравенство.