3.2. Відношення еквівалентності
1. Х – множина прямих площини. Яке з наступних відношень є відношенням еквівалентності на цій множні:
1) « х паралельне у»; 2) «х перпендикулярне у»; 3) «х перетинає у»?
2. На множині Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} задано відношення «мати один і той самий залишок при діленні на 3». Покажіть, що дане відношення є відношення еквівалентності, і запишіть всі класи еквівалентності, на які розбивається множина Х. Скільки таких класів вийшло?
3. Скільки класів еквівалентності визначає на множині Х (див. задачу 2) відношення «мати один і той самий залишок при діленні на 4»? Запишіть ці класи. Назвіть по одному представнику кожного класу.
4. На множині М прямокутників (рис.11) задано відношення рівновеликості. Покажіть, що воно є відношенням еквівалентності, і назвіть класи, на які розіб’ється множина М за допомогою цього відношення.
Рис. 11
5. Чи можна розбити множину Х = {7 – 3; 22; 5· 2; 60 : 6; 1 + 3; 0 : 4;
0 · 10; 4 : (10 – 10)} на класи за допомогою відношення «мати рівні значення»?
6. Поясніть, чому відношення рівності відрізків є відношенням еквівалентності, а відношення «коротше» не є відношенням еквівалентності.
7. На множині Х = {213, 37, 21, 87, 82} задано відношення Р – «мати у записі однакові цифри». Чи є Р відношенням еквівалентності?
8. Відношення Т – «мати одне і те саме число дільників» задано на множині {1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 11}. Покажіть, що Т – відношення еквівалентності, і запишіть всі класи еквівалентності.
9. На множині цілих чисел від 0 до 999 задано відношення R – «мати в записі одну і ту ж кількість цифр». Покажіть, що R – відношення еквівалентності. На скільки класів воно розбиває дану множину чисел? Назвіть найменший і найбільший елементи кожного класу розбиття.
10. Скільки класів еквівалентності визначається на множині натуральних чисел відношення «закінчується одною і тою ж цифрою»? Назвіть по одному представнику кожного класу.
3.3. Відношення порядку
1. Х – множина відрізків. Які з наступних відношень є відношеннями порядку на цій множині:
1) «х дорівнює у»; 2) «х довше у»; 3) «х коротше у на 2 см»; 4) «х довше у в 3 рази».
2. На множині Х = {3, 6, 9, 12, 15} задано відношення «х – дільник у». Покажіть, що це відношення впорядковує множину Х. Чим цей порядок відрізняється від того, який встановлюється в множині Х за допомогою відношення «більше»?
3. Чи впорядковує множину Х (див. задачу 2) відношення «менше чи дорівнює»? Побудуйте граф цього відношення.
4. Чи впорядковує множину натуральних чисел відношення «слідувати за»? А відношення «безпосередньо слідувати за»?
5. М – множина кіл на площині, R – відношення «коло х лежить всередині кола у». Чи впорядковує дане відношення множину М?
6. Чи можна впорядкувати множину прямих площини за допомогою відношень: 1) «пряма х перетинає пряму у»; 2) «пряма х перпендикулярна прямій у»?
3.4. Поняття відповідності
1. Таблиця (рис. 12) являє собою графік чергування в кімнаті дівчат , які проживають у гуртожитку. Відповідність між якими множинами встановляє ця таблиця? Що являє собою кожна впорядкована пара, що належить даній відповідності? Чи можна задати другу відповідність між даними множинами? Як це зробити?
Рис. 12
2. Студент заплатив за книжку 70 грн., за зошит - 3 грн., за олівець - 5грн., за пензлик - 6 грн., за гумку - 4 грн. Відповідність між якими двома множинами при цьому встановлено?
3. Обчисліть площі фігур, що зображені на рис. 13. Відповідність між якими множинами встановлено? Побудуйте граф цієї відповідності, позначивши кожну фігуру точкою F1, F2, …, F6.
Рис. 13
4. На рис. 14 зображений граф відповідності Р. Запишіть всі пари чисел, що знаходяться в цьому відношенні. Встановіть між даними множинами А і В дві інші відповідності.
Рис.14
5.
Дані множини: М = {-1, 1, -2, 2, -3, 3, 0, -4, 4} і N –
множина натуральних чисел. Відповідність
R між елементами цих множин – «квадрат
числа m
дорівнює числу n»,
причому
,
.
Запишіть множину пар, що находяться в
заданій відповідності. Чи правда, що:
1) ( - 3, 9)
;
2) (0, 0)
;
3) (- 4, 16)
?
6. Відповідність «менше» задано між елементами множин А = {1, 2, 4, 6} і В = {5, 7}. Побудуйте графік цієї відповідності. Яким буде графік відповідності «менше на 1» між елементами тих же множин?
7.
Елементи множин Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5} і Y = Z
находяться у відповідності «число х
менше числа у
на 3»,
,
.
Який з нижче наведених графіків (рис.
15) є графіком даної відповідності?
Рис. 15
8. На рисунку 16 наведений графік відповідності між множинами Х і Y. Скільки пар чисел знаходиться у заданій відповідності? Чи належать множині Х числа 2; 0; 2,7; -1,5, а множині Y числа 4; 0; -1; 0,5? Чи знаходяться в заданій відповідності пари чисел (0, 0), (-1, 4), (-2, -4)?
9. Графіком відповідності Р, заданої між множинами Х і Y, є прямокутник ABCD (рис. 17). Назвіть координати трьох точок, що належать цьому графіку. Вкажіть характеристичну властивість чисел, що належать множинам Х і Y.
Рис. 16 Рис. 17
10. Дані множини Х = {2, 5} і Y = {3, 6}. Перерахуйте елементи декартового добутку даних множин і утворіть всі підмножини отриманої множини. Яка з підмножин задає відповідність:
1) «більше»; 2) «менше»; 3) «більше чи дорівнює»?
11. Наведіть приклади завдань початкового курсу математики, при виконанні яких розглядаються відповідності між:
1) множиною відрізків і множиною натуральних чисел;
2) множиною прямокутників і множиною натуральних чисел;
3) множиною рівнянь і множиною натуральних чисел.