Розділ 6. Подільність цілих невід’ємних чисел

6.1. Поняття відношення подільності, його властивості

1. Поясніть, чому число 15 є: 1) дільником числа 60; 2) кратне числа 3.

2. Які з чисел 2, 3, 5 є дільниками числа: 1) 230; 2) 225; 3) 450?

3. Які з чисел 804, 75, 144, 150 кратні: 1) 2; 2) 3; 3) 5; 4) 9?

4. Назвіть п’ять чисел, кратних 3. За якою формулою можна отримати інші числа, кратні 3?

5. Запишіть множину дільників числа: а) 24; б) 38; в) 13; г) 1.

6. Доведіть, що множина дільників будь-якого натурального числа а є скінченною множиною.

7. Множина цілих невід’ємних чисел у залежності від остачі при діленні на 2 розбивається на 2 класи. З яких чисел складається кожен з цих класів? Напишіть по два представника кожного класу. За якою формулою можна отримати парні числа? А за якою непарні?

8. Поясніть, чому число 19 є простим, а число 12 складеним?

9. При яких значеннях q значення виразу 11q є простим числом?

10. Перерахуйте всі прості дільники числа 60.

11. Серед наступних висловлювань вкажіть істинні:

1) Множина натуральних чисел розбивається на клас простих чисел і клас складених.

2) Множина натуральних чисел складається з простих чисел, складених чисел і числа 1.

12. Побудуйте граф відношення «число х – дільник числа y» на множині X = {12, 9, 6, 3, 18}. Які особливості цього графа? Чим від нього буде відрізнятися граф відношення «х кратне y», якщо відношення задано на тій же ж множині?

13. Відомо, що і . Який висновок можна зробити про подільність числа а на 2?

14. Які остачі можуть бути отримані при діленні а на 3? Який вигляд чисел, які на 3 не діляться?

15. А – множина цілих невід’ємних чисел виду 3q, В – множина цілих невід’ємних чисел виду 3q+1, С – множина цілих невід’ємних чисел виду 3q+2. Чи можна стверджувати, що ?

16. З множини цілих невід’ємних чисел виділили підмножину чисел, кратних 7. Розбийте будь-яким чином на класи підмножину чисел, не кратних 7. Скільки класів розбиття множини отримали?

6.2. Подільність суми, різниці і добутку цілих невід’ємних чисел

1. У доведенні теореми про подільність суми є таке перетворення: . Поясніть: 1) на основі якого теоретичного факту є можливим винесення числа n за дужки; 2) чому сума є цілим невід’ємним числом.

2. Доведіть теорему про подільність суми для:

1) трьох доданків; 2) m доданків.

3. Доведіть теорему про подільність різниці цілих невід’ємних чисел на натуральне число.

4. Доведіть, що: 1) якщо і , то ; 2) якщо і , то .

5. Відомо, що а не кратне n і b не кратне n. Чи правильно, що: 1) не кратне n; 2) не кратне n?

6. Не виконуючи додавання, встановіть, чи ділиться значення виразу на 3: 1) 180+144; 2) 720+308; 3) 103+370.

7. Не виконуючи віднімання, вкажіть вирази, значення яких ділиться на 5: 1) 535-413; 2) 1215-470; 3) 20 147-1 307.

8. Не виконуючи обчислень, встановіть, чи буде добуток ділиться на 5, 8, 9, 10, 18, 45.

9. Якщо до двоцифрового числа додати число, записане тими ж цифрами, але у зворотному порядку, то сума буде кратна 11. Доведіть це.

10. Доведіть чи спростуйте наступні висловлення:

1) Для того, щоб сума двох натуральних чисел була парним числом, необхідно, щоб кожний доданок був парним числом;

2) З того, що сума двох натуральних чисел парна, слідує, що обидва доданки також парні;

3) З того, що числа a і b непарні, слідує, що їх сума - число парне;

4) Для того, щоб сума двох натуральних чисел була непарним числом, достатньо, щоб одне з них було парним, а інше – непарним.

11. Відомо, що а – парне натуральне число, b – непарне і a > b. Яким числом буде різниця чисел a і b? Висловлене припущення доведіть.

12. Чи кратна числу 4 сума двох послідовних: 1) парних чисел; 2) непарних чисел?

13. Доведіть способом повної індукції, що добуток трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 3.

14. Доведіть, що квадрат непарного натурального числа при діленні на 8 дає остачу 1.

15. Доведіть, що сума квадратів двох послідовних натуральних чисел при діленні на 4 дає остачу 1.

16. Доведіть, що добуток двох послідовних парних чисел ділиться на 8.