8.2. Дії над дійсними числами

1. Доведіть, що числа 4,7 і 4,8 є десятковими наближеннями згідно з недостачею і з надлишком числа з точністю до 0,1.

2. Перевірте, чи істинна нерівність: 1) ;

2) .

3. Десяткове наближення , взяте з таблиці квадратних коренів з точністю до 0,001, дорівнює 4,583. Перевірте, як проведене округлення: з недостачею чи з надлишком.

4. Архімед встановив, що відношення довжини кола до його діаметра більше, ніж , і менше, ніж . Знайдіть десяткове наближення цих дробів з точністю до: а) 0,01; б) 0,001.

5. Відомо, що числа a = 3,6272…, b = 5,2814… . Знайдіть три перших десяткових знаки суми a+b.

6. Відомо, що числа х = 0,35…, у = 0,82… . Знайдіть перший десятковий знак добутку .

7. Перевірте обчислення: 1) ; 2) .

8.3. Від’ємні числа

1. Зобразіть на промені (рис. 22) числа а+3 і а-5.

Рис. 22

2. Доведіть чи спростуйте висловлення:

1) Будь-яке число, більше числа 35, додатне.

2) Будь-яке число, менше 19, додатне.

3) Існує додатне число, менше 19.

4) Завжди можна вказати ціле додатне число, менше будь-якого додатного числа.

5) Будь-яке число, яке менше будь-якого від’ємного числа, є числом від’ємним.

6) Будь-яке число, яке не більше нуля, є числом від’ємним.

3. При яких умовах речення «Якщо модуль числа а більше числа b, то число а більше числа b» є істинним висловленням?

4. Де на координатній прямій лежить точка з координатою х, якщо:

1) ; 2) ;

3) ; 4) > ;

5) <3?

5. Використовуючи геометричний зміст модуля, розв’яжіть:

1) рівняння =2;

2) нерівність <3;

3) нерівність >3.

Розділ 9. Рівняння, нерівності, функції

9.1. Поняття про рівняння. Рівносильність рівнянь з однією змінною

1. Перевірте, чи є -4 коренем рівняння , якщо воно задано на множині дійсних чисел.

2. Рівняння розглядається на множині натуральних чисел. Поясніть, чому є коренем даного рівняння, а і не є коренями.

3. Замість трьох крапок поставте або «необхідно», або «достатньо», або «необхідно і достатньо» так, щоб отримати істинні висловлювання:

1) Для того, щоб число а було коренем рівняння , …, щоб число а належало області визначення рівняння.

2) Для того, щоб число а було коренем рівняння , …, щоб при підстановці числа а замість х рівняння перетворювалось в правильну числову рівність.

3) Для того, щоб число а було коренем рівняння , …, щоб число а належало області визначення і при підстановці числа а замість х рівняння перетворювалось в правильну числову рівність.

4. Чи істинні наступні висловлення:

1) Для того, щоб добуток був рівним нулю, необхідно, щоб .

2) Для того, щоб добуток був рівним нулю, достатньо, щоб .

5. Сформулюйте умови, при яких:

1) число 3 є коренем рівняння ;

2) число 7 не є коренем рівняння ;

3) число 2 є коренем рівняння .

6. Наведіть різні види рівнянь, що розв’язуються в початкових класах.

7. Встановіть, які з наступних пар рівнянь рівносильні на множині дійсних чисел:

1) і ;

2) і ;

3) і .

8. Сформулюйте властивості відношення рівносильності рівнянь. Які з них використовуються в ході розв’язання рівнянь?

9. Учень розв’язав рівняння наступним чином: ; ; - і сказав, що це рівняння коренів немає, так як розв’язання його приводить до неправильної числової рівності. Чи правий учень?

10. Розв’яжіть рівняння і встановіть, яке його перетворення приводить до появи стороннього кореня .

11. Розв’яжіть рівняння (всі вони визначені на множині дійсних чисел) і поясніть, які теоретичні положення були при цьому використані:

1) ; 2) ;

3) .

12. Розв’яжіть рівняння, використовуючи взаємозв'язок між компонентами і результатами дій:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

13. Розв'яжіть рівняння , використовуючи:

1) теореми про рівносильність рівнянь і правила тотожних перетворень;

2) взаємозв'язок між компонентами і результатами дій. Порівняйте способи запису розв’язків.

14. Розв'яжіть рівняння різними способами:

1) ; 2) .

15. При яких значеннях х вираз і мають рівні значення?

16. Розв'яжіть задачі алгебраїчним і арифметичним способами:

1) На першій поличці на 16 книжок більше, ніж на другій. Якщо з кожної полиці зняти по 3 книжки, то на першій полиці книжок буде в півтора рази більше, ніж на другій. Скільки книжок на кожній полиці?

2) У двох пачках всього 30 зошитів. Якщо б з першої пачки перекласти у другу 2 зошити, то в першій пачці стане вдвічі більше зошитів, ніж у другій. Скільки зошитів було у кожній пачці?

3) 16 км від турбази до санаторію велосипедист проїхав за 1 год 10 хв. Перші 40 хвилин цього часу він їхав з однією швидкістю, а решту часу – зі швидкістю, на 3 км/год меншою. Знайдіть швидкість велосипедиста на першій ділянці шляху.