Розділ 3. Відповідності і відношення

3.1. Поняття бінарного відношення між елементами однієї множини. Способи задання бінарних відношень

1. Наведіть приклади відношень, існуючих між:

1) натуральними числами; 2) прямими на площині;

3) трикутниками; 4) множинами.

2. З елементів множини Х = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18} створіть всі можливі пари чисел так, щоб компоненти пари (х, у) були зв’язані відношенням:

1) «х більше у в 3 рази» 2) «х більше у на 3». Побудуйте графи даних відношень.

3. Яка з наступних множин є відношенням між елементами множини А = {0, 3, 6, 9, 12}:

1) Р = {(6, 3), (9, 3), (12, 3), (12, 6), (3, 3), (6, 6), (9, 9), (12, 12)};

2) Т = {(3, 3), (3, 6), (3, 9), (3, 12), (6, 6), (9, 9), (12, 12)};

3) М = {(3, 6), (6, 12), (9, 18)}.

4. На множині Х = {0, 2, 4, 6, 8} задані відношення P, Q, S. Побудуйте їхні графи, якщо:

P – відношення «менше»;

Q – відношення «менше в 2 рази»;

S – відношення «менше на 2».

5. Задайте різними способами будь-яке відношення між елементами множини А = {3, 6, 9, 18, 27}.

6. Запишіть у вигляді рівняння речення: 1) число х більше числа у на 5; 2) число х менше числа у на 7; 3) число х менше числа у в 5 раз.

7. Задайте у вигляді нерівності з двома змінними відношення: 1) «менше» 2) «менше або дорівнює».

8. Наведіть приклади відношень, що розглядаються в початкових класах: 1) на множині натуральних чисел; 2) на множині відрізків; 3) у текстових задачах.

9. Елементи множини Х = {0, 1, 3, 4, 6} знаходяться у відношенні

Р = {(0, 1), (0, 3), (0, 4), (0, 6), (1, 4), (6, 6)}. Побудуйте граф цього відношення.

10. Побудуйте граф відношення «більше або дорівнює», заданого на множині {0, 1, 2, 3, 4}. Як задати це відношення за допомогою нерівності з двома змінними?

11. Розв’яжіть задачі, виділивши попередньо відношення, які в них розглядаються:

1) На одній полиці було в 3 рази більше книжок, ніж на другій. Коли з першої полички зняли 8 книжок, а на другу поклали 5, то на другій полиці стало на 17 книжок менше, ніж на першій. Скільки книжок було на кожній полиці?

2) На автобазі було на 46 вантажних машин більше, ніж автобусів. Скільки вантажних машин було на автобазі, якщо їх було в 3 рази більше, ніж автобусів?

12. На множині Х = {1, 2, 4, 8, 12} задано відношення «х кратне у». Побудуйте граф і сформулюйте властивості даного відношення.

13. Чим відрізняється граф відношення «х – дільник у», заданий на множині Х = {1, 2, 4, 8, 12}, від графа відношення «х кратне у»?

14. На множині А відрізків (рис. 10) задані відношення «дорівнює» і «коротше». Побудуйте графи і сформулюйте властивості даних відношень. Яке з них володіє властивістю рефлективності? Які особливості його графа?

Рис. 10

15. Чи володіє властивістю рефлективності відношення «кратне», задане на множині В = {0, 2, 4}?

16. На множині Х = {2, 3, 4, 5, 6} задані відношення «більше» і «більше або дорівнює». Побудуйте графи і сформулюйте властивості даних відношень. Яке з них володіє властивістю рефлективності? Чому?

17. Які властивості відношень «більше в 2 рази» і «більше на 2», заданих на множині У = {2, 4, 6, 8, 12}? У чому схожість графів даних відношень? Чи правильний вислів: «Відношення «більше в 2 рази» антисиметричне, так як з того, що х більше у в 2 рази, не слідує, що у більше х в 2 рази»?

18. Встановіть, які відношення розглядаються в наступних задачах, і обґрунтуйте схожість способів їх розв’язання:

1) Учні зробили до новорічного свята 26 прикрас для ялинки, це в 2 рази менше, ніж сніжинок. Скільки всього прикрас для ялинки і сніжинок зробили учні?

2) З дерев впало 15 яблук, а груш у 2 рази більше. Скільки всього фруктів впало з дерев?