1.4. Структура теореми. Види теорем

1. Виділіть умови і висновки в кожній з теорем:

1) якщо в трикутнику всі сторони рівні, то і всі кути рівні;

2) сума двох парних чисел – парне число;

3) якщо число кратне 3 і 4, то воно кратне 12;

4) для того, щоб різниця ділилась на дане число, достатньо, щоб зменшуване і від’ємник ділилось на це число;

5) для того, щоб різниця натуральних чисел а і b була натуральним числом, необхідно і достатньо, щоб а > b.

2. Дана теорема: «Для того, щоб чотирикутник був паралелограмом, необхідно, щоб його протилежні сторони були рівні». Виділіть в теоремі умову і висновок та переформулюйте її, вживаючи слово:

1) слідує; 2) будь-який; 3) достатньо.

3. Які з теорем рівносильні теоремі «У будь-якому прямокутнику діагоналі рівні»:

1) якщо чотирикутник – прямокутник, то його діагоналі рівні;

2) якщо діагоналі в чотирикутнику не рівні, то цей чотирикутник не є прямокутником;

3) якщо діагоналі в чотирикутнику рівні, то цей чотирикутник – прямокутник;

4) для того, щоб діагоналі в чотирикутнику були рівні, достатньо, щоб цей чотирикутник був прямокутником?

4. Чи є наступні пари теорем, обернені одна одній:

1) Якщо чотирикутник – квадрат, то в ньому є прямий кут. Для того, щоб чотирикутник був квадратом, достатньо, щоб в ньому був прямий кут;

2) Для того, щоб число було натуральним, необхідно, щоб воно було додатнім. Якщо число натуральне, то воно додатне?

5. Сформулюйте обернену теорему, протилежну даній, а також обернену протилежній; встановіть, які з них хибні:

1) якщо запис числа закінчується нулем, то число ділиться на 5;

2) у ромбі діагоналі взаємно перпендикулярні.

6. Сформулюйте теорему, обернену даній, і встановіть, чи можливо дану теорему і її обернену об’єднати в одну:

1) якщо кути суміжні, то їх сума дорівнює 180°;

2) якщо два кути трикутника рівні, то і сторони, що лежать проти них, теж рівні.

1.5. Способи розв’язування текстових задач

1. У наступних задачах виділіть умову і вимогу:

1) Два автобуси виїхали одночасно з міста у дитячий пансіонат, відстань до якого 72 кілометри. Перший автобус прибув у пансіонат на 15 хвилин раніше другого. З якою швидкістю їхав кожен автобус, якщо швидкість одного з них на 4 км/год більше швидкості іншого?

2) Знайдіть сторони прямокутника, якщо відомо, що одна з них на 14 см більша за другу, а його діагональ 34 см.

2. Розв’яжіть двома арифметичними способами наступні задачі:

1) Під час друкування книги передбачалося розмістити на сторінці 28 рядків, по 40 букв в кожному рядку. Проте за розмірами паперу виявилося доцільним розмістити на кожній сторінці 35 рядків. Скільки букв необхідно розмістити у кожному рядку, щоб загальна кількість сторінок у книжці залишилася без змін?

2) Мотоцикліст, рухаючись зі швидкістю 40 км/год, проїхав деяку відстань за 12 хвилин. За скільки хвилин проїде цей шлях велосипедист, рухаючись зі швидкістю 15 км/год?

3. Розв’яжіть задачу різними алгебраїчними способами: з 560 листків паперу зробили 60 зошитів двох видів, витративши на зошити одного виду по 8 листків, а на зошити іншого виду по 12 листків. Скільки зробили зошитів кожного виду окремо? Чи можна розв’язати цю задачу арифметичним способом?

4. Розв’яжіть наступні задачі, зробивши спочатку рисунок:

1) Один шматок дроту на 54 м довший іншого. Після того, як від кожного шматка відрізали по 12 м, другий шматок виявився в 4 рази коротший першого. Знайдіть початкову довжину кожного шматка дроту.

2) На поличці стоять тарілки. Спочатку взяли частину всіх тарілок, а потім тарілок, які залишились. Після цього на поличці залишилося 9 тарілок. Скільки тарілок було на поличці?

5. Розв’яжіть задачу з використанням графічної схеми: Два хлопчика зібрали 96 грибів. кількості грибів, зібраних першим хлопчиком, дорівнюють кількості грибів, зібраних другим хлопчиком. Скільки грибів зібрав кожен хлопчик?