2.3. Декартовий добуток множин

1. Дано рівняння . Запишіть декілька розв’язків даного рівняння. Що являє собою кожен розв’язок? Чи є пара (4, 5) розв’язком даного рівняння? А пара (5, 4)?

2. Елементами множини А і В є пари чисел: А = {(1, 12), (2, 9), (3, 6), (4, 3), (5, 0)}, В = {(1, 9), (2, 7), (3, 6), (4, 7), (5, 0)}. Які пари чисел ввійдуть у перетин даних множин? А які в об’єднання?

3. Запишіть множину дробів, чисельником яких є число з множини А = {4, 5}, а знаменником – число з множини В = {3, 7, 9}.

4. Перерахуйте елементи декартового добутку , якщо:

1) А = {a, b, c, d}, B = {b, n, r};

2) А = {a, b, c}, B = {a, b, c};

3) А = {a, b, c}, B = ;

4) А = , B = {b, n, r}.

5. Дані множини А = {a, b} і В = {c, d}. Чи є множина С декартовим добутком множини А і В, якщо:

1) С = {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)};

2) С = {(a, d), (b, d), (a, c)};

3) С = {(a, d), (b, d), (c, d), (a, c)}?

6. Запишіть різні двоцифрові числа, використовуючи цифри 1, 2, 3, 4. Скільки серед них таких, запис яких починається з цифри 3? Переформулюйте цю задачу, використовуючи поняття декартового добутку множин.

2.4. Зображення декартового добутку двох числових множин

1. Яку фігуру утворюють на координатній площині точки, що зображають пари чисел (-1, 0), (-1, 4), (3, 0), (3, 4)?

2. Відмітьте штриховкою множину точок координатної площини, абсциси яких від’ємні, а ординати додатні.

3. Яку фігуру утворюють точки, якщо їх абсциси належать множині [-2, 2], а ординати – множині [-3, 3]?

4. Зобразіть декартовий добуток у прямокутній системі координат, якщо А = {0, 2, 4, 6}, а В = {1, 3, 5}. Чи належать побудованій фігурі точка (2, 3)? А точка (3, 0)?

5. Визначте, декартовий добуток яких множин Х і У зображено на рисунку 9.

Рис. 9

6. Зобразіть у прямокутній системі координат множину , якщо:

1) А = [-2, 2], В = {2, 3, 4};

2) А = [-2, 2], В = [2, 4];

3) А = R, В = [2, 4].

7. Покажіть графічно, що декартовий добуток множин А = {3, 2, 1} і В = {4, 4, 6} не володіє переставною властивістю.

2.5. Комбінаторні задачі

1. У множині А 7 елементів. Скільки елементів у множині В, якщо у декартовому добутку А В містяться:

1) 42 елементи; 2) 7 елементів; 3) 0 елементів?

2. Набір складається з книжки і блокнота. Скільки різних наборів можна скласти, якщо є 20 видів різних книжок і 15 видів різних блокнотів?

3. Скільки двоцифрових чисел можна скласти, використовуючи числа 1, 2, 3, 4, якщо цифри в записі числа: 1) повторюються; 2) не повторюються?

4. Скільки різних чотирицифрових чисел можна скласти, використовуючи числа 1, 2, 4, 6, 8, якщо кожна з них може бути використана у записі числа тільки один раз? Скільки серед них таких, які починаються з цифри 2?

5. Скільки трицифрових чисел можна скласти, використовуючи цифри 3, 4, 0, якщо цифри в записі числа не повторюються?

6. Команда космічного літака складається з трьох чоловік: командира, бортінженера та лікаря. На місце командира є 2 кандидати, на місце бортінженера – 3, а на місце лікаря – 4. Скількома способами може бути складена команда корабля?

7. Скількома способами можна розсадити 5 учнів, якщо в класі 40 місць?

8. На колі відмічені 4 точки. Скільки різних хорд вони визначають?

9. Учні вивчають 10 предметів. У понеділок 5 уроків, причому всі уроки різні. Скількома способами можна скласти розклад на понеділок?

10. Для проведення зборів з 36 людей необхідно вибрати голову та секретаря зборів. Скількома способами можна це зробити?

11. Скільки можна скласти чотиризначних чисел , що діляться на 5?