Задача 16

Имеются данные о затратах на рекламу (х — тыс. ден. ед.) и объеме продаж (у — тыс. ед.) за 10 месяцев года:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
х	6	8	11	9	14	15	11	21	28	32
y	10	13	19	18	22	27	25	35	39	45

Требуется:

Построить уравнение регрессии по первым разностям и оценить тесноту

связи.

Дать прогноз на ноябрь, предполагая, что прирост затрат на рекламу будет тот же, что и в предыдущем месяце.

Решение:

Строим уравнение вида:

^{Δy = a + bΔx + ε} _,

где ∆y, ∆x — ежемесячные цепные абсолютные приросты.

Они составили:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Δx	-	2	3	-2	5	1	-4	10	7	4	26

Δy

-

3

6

-1

4

5

-2

10

4

6

35

Для оценки параметров применяем МНК, и система нормальных уравнений составит:

^{∑ Δy = na + b∑ Δx} _;

_{∑ ΔyΔx = a∑ Δx + b∑ (Δx)}²

.

В нашей задаче n = 9 (число абсолютных приростов),

^{∑ ΔyΔx = 211}

_{∑ (Δx)}² _{= 224}

.

Система уравнений:

35 = 9a + 26b.

211 = 26a + 224b.

Параметры уравнения следующие:

а = 1,757; b = 0,738.

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:

^{Δy = 1,757 + 0,738Δx + ε} _.

Оно означает, что с ростом скорости затрат на рекламу на 1 тыс. ден. ед. абсолютный прирост объема продаж увеличивается в среднем на 0,738 ед. Для прогноза воспользуемся формулой

^{y p = yn + a + b( x p − xn )} _.

В задаче

^y_n ^{= 45}

^x _p ^{− x}_n ^{= Δx} _p

(прогнозируемая величина прироста). По условию она равна ∆x за октябрь,

_{т. е. 4. Тогда имеем:}

^y _p ^{= 45 + 1,757 + 0,738 * 4 = 49,7}

Задача 17

Имеются данные за 10 месяцев о численности работников (х — чел.) и объеме продаж (y — тыс. ед.)

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
х	10	12	11	14	15	15	16	18	20	23
у	25	32	33	36	40	42	38	45	55	60

Требуется:

Построить модель линейной регрессии по отклонениям от тенденций.

Найти коэффициент корреляции.

Дать прогноз на ноябрь, предполагая численность работников на уровне октября.

Решение:

_{Тенденцию ряда х можно представить в виде уравнения линейного тренда:}

^x_t ^{= a + bt + ε}

_{Применяя МНК, получим для оценки параметров систему}

нормальных уравнений:

_⎧10a + 55b = 154

_⎨

^{⎩55a + 385b = 954}

Решая ее, получим уравнение тренда

^xˆ_t

^{= 8,267 + 1,297t} _.

_{Подставляя в это уравнение значения t от 1 до 10, найдем теоретические}

уровни ряда

x^ˆ_t . Это позволит далее найти отклонения от тенденции e_x ,

т. е. e_x

^{= x}_t

^{− xˆ}_t

_{Тенденцию ряда у также представим в виде линейного тренда:}

^{yt = a + bt + ε} _.

Применяя МНК, получим следующую систему нормальных уравнений:

_⎧10a + 55b = 406

_⎨

^{⎩55a + 385b = 2505} .

Решая ее, получим уравнение тренда:

y^ˆ_t

^{= 22,467 + 3,297t}

Подставляя в это уравнение значения t от 1 до 10, найдем теоретические уровни ряда.

Далее находим отклонения от тренда по ряду у, т. е. e_y

_{Результаты представим в таблице:}

^{= y}_t

^{− yˆ}_t ^.

t	yt	yˆt	ey	xt	xˆt	ex
1	25	25,8	-0,8	10	9,6	0,4
2	32	29,1	2,9	12	10,9	1,1
3	33	32,4	0,6	11	12,2	-1,2
4	36	35,7	0,3	14	13,5	0,5
5	40	39	1	15	14,8	0,2
6	42	42,2	-0,2	15	16	-1
7	38	45,5	-7,5	16	17,3	-1,3
8	45	48,8	-3,8	18	18,6	-0,6
9	55	52,1	2,9	20	19,9	0,1
10	60	55,4	4,6	23	21,2	1,8
	406	406	0	154	154	0

_{Далее построим уравнение регрессии:}

^{ey = a + bex + ut} _,

_{где ut — ошибки}

^(ut

^{= e}_y

^{− eˆy )}_.

Для оценки параметров применяем МНК. Система нормальных уравнений составит:

_∑ ^e _y

^{= na + b}_∑ ^e_x

^x .

^{∑ e y ex}

^{= a∑ ex}

^{+ b∑ e} 2

В задаче

^{∑ e y = ∑ ex = 0}

параметр a равен нулю;

_∑ ^e_y ^e_x

^{= 23,3}

x

^{∑ e} 2 ^{= 9,4}

параметр b равен 2,478, т. е. 23,3/9,4.

_{Таким образом, уравнение регрессии по отклонениям от трендов составит:}

^{ey = 2,478ex + ut} _.

Коэффициент корреляции находим по обычной формуле линейного коэффициента корреляции с тем лишь отличием, что используем для расчета не исходные данные по у и х, а отклонения от тенденций, т. е.

_{ey ex − ey * ex}

_{r =}

^e _y ^e_x

_{В задаче}

^σ _{e y} ^σ _ex

^e _y ^e_x ^{= 23,3 /10 = 2,33}

^e _y ^{= e}_x ^{= 0}

e

_{σ = 0,9695}

^x

_{σ = 3,329}

^e _y

_{r =} ^2,33

_{= 0,722}

^e _y ^e_x

_{0,9695 * 3,329}

_{Прогноз дадим, используя формулу:}

^y _p ⁼

^{yˆ t = p + b(x p}

^{− xˆt = p )}_,

^{где y}_p ^{— прогнозируемый уровень объема продаж;}

^yˆ _{p =t}

— прогноз по тренду

(подставляем в уравнение линейного тренда t = 11);

_{b — коэффициент регрессии из уравнения}

^{ey = bex + ut} _;

^{x p} _{— прогнозная численность работников по условию задачи равно 23}

_{(на уровне октября);}

^xˆ_{t = p}

— прогноз по тренду (подставляем в уравнение тренда t = 11).

В нашей задаче имеем:

y_р = (22,467 + 3,297 * 11) + 2,478(23 – 8,267 – 1,297 * 11) = 58,734 + 2,478 *

0,466 = 59,9 тыс. ед.