Задача 12

Розничный товарооборот магазина за 10 месяцев года характеризуется данными (в млн. руб.):

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Оборот	20	42	58	64	66	67	69	70	70	72

Представить тенденцию в виде равносторонней гиперболы

_b

^yˆ_t

^{= a + b / t} _{и в}

_{виде степенной функции}

^yˆ_t

^{= at}

_{. Сравнить полученные результаты через}

остаточную дисперсию и величину коэффициента детерминации.

Рассчитать прогноз на ноябрь.

Решение:

_{Найдем уравнение тренда в виде равносторонней гиперболы}

^yˆ_t

^{= a + b / t} _.

Для оценки параметров применяем МНК и получим систему нормальных уравнений:

_{⎧ 1}

^{⎪∑ y = na + b∑} _t

_⎨

_{⎪∑ y / t = a∑} ¹ _{+ b∑ (1 / t )2}

_⎩^⎪ _t

В нашей задаче для расчета необходимых сумм составим табл. 1:

t	у	(1/t)	(1/t)2	y t	yˆ	y − yˆ	( y − yˆ )2
1	20	1	1	20	18,034	1,966	3,865
2	42	0,5	0,25	21	47,567	-5,567	30,991
3	58	0,333	0,1111	19,333	57,412	0,588	0,347
4	64	0,25	0,0625	16	62,334	1,666	2,779
5	66	0,2	0,04	13,2	65,287	0,713	0,508
6	67	0,167	0,0278	11,667	67,256	-0,256	0,066
7	69	0,143	0,0204	9,857	69,662	0,338	0,114
8	70	0,125	0,01562	8,75	69,717	0,283	0,08
9	70	0,111	0,01235	7,778	70,537	-0,537	0,288
10	72	0,1	0,01	7,2	71,194	0,806	0,649
∑	598	2,929	1,5498	134,285	598	0	39,689

_{Таблица 1. Расчет параметров равносторонней гиперболы.}

t t _t

Используя итоговую строку табл. 1, получим следующую систему нормальных уравнений:

_⎧598 = 10a + 2,929b

_⎨

^{⎩134,285 = 2,929a + 1,5498b}

Решая, имеем:

^{Δ = 6,919} _;

^{Δa = 533,445} _;

^{Δb = −408,674.}

Соответственно

^{a = Δa / Δ = 77,100} _.

^{b = Δb / Δ = −59,067} _.

_{т. е. уравнение тренда примет вид:}

y^ˆ_t

^{= 77,100 − 59,067 / t}

В нем можно интерпретировать параметр a как максимальное значение товарооборота за месяц, исходя из данной тенденции.

_{По данному уравнению найдем теоретические значения товарооборота}

^{( yˆt )} _{, подставив в уравнение соответствующие значения t (см. графу}

2

Чтобы оценить далее качество уравнения тренда, найдем остаточную дисперсию и величину коэффициента детерминации. Остаточную дисперсию оценим по формуле:

^yˆt ₎

^{σ 2} ост

⁼ _∑ ^{( y − yˆ}_t ^{) / n}

_{т. е. получим}

^{σ 2 ост}

^{= 39,689 / 10 = 3,969} _.

Коэффициент детерминации определим как

₂

^σ

_R ² _{= 1 −} ^σ

ост

2

y

_{σ 2 σ 2}

где ^y

— дисперсия исследуемого признака у. Величину ^y

можно

_{получить по формулам:}

^{σ 2} y

⁼ _∑ ^{( y − y)2 / n}

_{или по упрощенной формуле:}

^{σ 2 y}

^{= (∑ y} 2 ^{/ n) − ( y)}2 _.

В нашем примере

^{∑ y} 2 ^{= 38214}

^{y = 59,8} _.

Соответственно:

₂

^{σ y} _{= 3821,4 – 59,82 = 245,36.}

Тогда коэффициент детерминации составит:

^{R 2} = 1 – 3,969/245,36 = 0,9838.

Его величина означает, что тенденция в виде гиперболы описывает 98,4% колеблемости товарооборота и лишь 1, 6% приходится на долю случайной компоненты.

_{Найдем уравнение тренда в виде степенной функции}

yˆ_t

^{= at} b _.

Для этого, прологарифмировав, приведем данную функцию к линейному виду: ^{ln y = ln a + b ln t} . Тогда для оценки параметров применим МНК и

_{получим систему нормальных уравнений:}

⎧_∑ ^{ln y = n ln a + b}_∑

_⎨

ln t

^{⎩∑ ln y ln t = ln a∑ ln t + b∑ (ln t )}2

Для расчетов можно составить вспомогательную таблицу, в итоговой

_{∑ ln y, ∑ ln t, ∑ ln y ln t, ∑ (ln t )}2

строке которой будут представлены .

_{В рассматриваемом примере данные суммы составили:}

^{∑ ln y = 40,355}

_∑ ^{ln y ln t = 63,35}

^{∑ ln t = 15,104}

_∑ ^{(ln t )2 = 27,65}

В результате имеем систему нормальных уравнений:

_⎧40,355 = 10 ln a + 15,104b

_⎨

^{⎩63,35 = 15,104 ln a + 27,65b}

Решая ее, получим:

^{Δ = 48,369}

^{Δ ln a = 158,977}

^{Δb = 23,978} _.

Откуда

ln a = Δa / Δ = 3,287

_{a = e}^{3, 287}

_{= 26,763}

_{b = Δb / Δ = 0,4957}

yˆ_t

= 26,763 * t ^{0, 4957}

В данном уравнении величина параметра a означает значение товарооборота, при t = 1, т. е. выровненное (теоретическое) значение оборота за январь. Величина параметра b не интерпретируется. Можно интерпретировать t^b, так при t = 10 имеем 10^0,4957 = 3,131.

Данная величина представляет собой базисный коэффициент роста,

рассчитанный исходя из теоретических значений товарооборота.

Иными словами, в соответствии со степенной функцией товарооборот за