Решение:

Для оценки параметров применяем МНК и получаем следующую систему:

_{⎧ ∑ y = na0 + a1 ∑ cos t + b1 ∑ sin t}

_{⎪ 2}

^{⎨∑ y cos t = a}0 ^{∑ cos t + a}1 ^{∑ cos}

_⎪

^{t + b}₁ ∑ ^{cos t sin t}

₂

_⎩ ^{∑ y sin t = a}₀ ^{∑ sin t + a}₁ ^{∑ cos t sin t + b}₁ ^{∑ sin t}

^{В этой системе ∑ cos t = ∑ sin t = ∑ cos t sin t = 0 ;}

_{∑ cos}² _{t = ∑ sin} ² _{t =} ⁿ

²

Соответственно получаем формулы для параметров:

^a₀ ^{= y}

_{a =} ² _{∑ y cos t}

^{1 n}

_{b =} ² _{∑ y sin t}

^{1 n}

_{у — исходные данные динамического ряда;}

_{t — принимает значения}

_0, ^2π _, ^4π _, ^6π _........

n n n

В нашей задаче n = 12

^2π ₌ ^π

12 6

— величина шага, на который увеличивается для каждого месяца значение

_{t. Оформим все расчеты в виде таблицы:}

Месяц	y	t	cos t	sin t	y cos t	y sin t	yˆ t
1	21,2	0	1	0	21,2	0	21,25
2	21,3	π /6	0,866	0,5	18,446	10,65	21,32
3	21	π /3	0,5	0,866	10,5	18,187	21,03
4	20,5	π /2	0	1	0	20,5	20,48
5	19,8	2 π /3	-0,5	0,866	-9,9	17,147	19,8
6	19,2	5 π /6	-0,866	0,5	-16,628	9,6	19,2
7	18,8	π	-1	0	-18,8	0	18,78
8	18,7	7 π /6	-0,866	-0,5	-16,195	-9,35	18,71
9	19	4 π /3	-0,5	-0,866	-9,5	-16,455	19
10	19,5	3 π /2	0	-1	0	-19,5	19,55
11	20,2	5 π /3	0,5	-0,866	10,1	-17,494	20,23
12	21,0	11 π /6	0,866	-0,5	18,187	-10,5	20,85
∑	240,2	-	0	0	7,41	2,785	240,2

Из итоговой строки таблицы получим:

_{a =} ^240,2 _{= 20,017}

^{0 12}

a₁ =

b₁ =

² _{* 7,41 = 1,235}

¹²

² _{* 2,785 = 0,464}

¹²

Соответственно линия тренда примет вид:

^yˆ_t

^{= 20,017 + 1,235 cos t + 0,464 sin t} _.

Чтобы понять, нужно ли увеличивать число гармоник, т. е. переходить к уравнению

^yˆ_t

^{= a0 + a1 cos t + b1 sin t + a2 cos 2t + b2 sin 2t} _,

оценим качество данного уравнения через коэффициент детерминации. Для этого сначала найдем теоретические значения уровней ряда, т. е. подставив в уравнение тренда соответствующие значения t (см. в таблице последнюю графу). В примере расчетные значения очень близко подходят к фактическим значениям y. Остаточная дисперсия составит:

^{σ 2} ост

₌ ¹ _{∑ ( y − yˆ )}²

^{n t}

₌ ¹ _{0,0307 = 0,0026}

¹² .

Общая дисперсия по ряду у составила 0,8731. Соответственно имеем коэффициент детерминации:

₂

_R ² _{= 1 −} ^σ

ост

_{= 1 −} ^0,0026 _{= 0,997}

σ ² у

0,8731

Это имеет место и при компьютерной обработке рассматриваемого ряда. Коэффициент детерминации подтверждает возможность использования ряда Фурье с одной гармоникой для прогнозирования. Прогноз на январь следующего года составит (подставим в уравнение тренда, следующее по

порядку значение t, т. е. t =

2π ):

^yˆ _p

_кг.

^{= 20,017 + 1,235 cos 2π}

^{+ 0,464 sin 2π}

^{= 20,017 + 1,235 *1 + 0,464 * 0 = 21,25}

Задача 14

_{Имеются следующие данные об инвестициях в экономику РФ, млрд руб.:}

Годы	Кварталы
	1	2	3	4
2005	541	776	994	1301
2006	637	986	1246	1712
2007	867	1399	1415	1709

Требуется:

Построить график ряда и убедиться, что можно использовать аддитивную

модель.

Провести выравнивание ряда методом четырехчленной скользящей средней и найти центрированные скользящие средние.

Найти сезонные колебания, скорректировав показатели сезонности для каждого квартала.

Провести десезонализацию уровней динамического ряда.

Провести аналитическое выравнивание десезонализированного ряда по прямой.

Дать в таблице разложение уровней ряда по аддитивной модели.

Дать прогноз инвестиций на все кварталы 2008 г.

Решение:

График ряда представим на рисунке:

График показывает, что в ряду динамики есть тенденция и амплитуда колебаний по годам различается не сильно. Поэтому при анализе данной информации можно использовать аддитивную модель.

Чтобы найти центрированные четырехчленные скользящие средние,

_{применим формулу:}

y

^~₁ ^{= (0,5 y}₁

^{+ y}₂

^{+ y}₃

^{+ y}₄

^{+ 0,5 y}₅

^{) / 4} _,

последовательно сдвигая начало отсчета на одну временную единицу

(квартал).

t	yt	~	~	ˆ	ˆ
1	541	-	-	424.2	965.2
2	776	-	-	-36.1	812.1
3	984	912.5	71.5	64	920
4	1301	950.75	350.25	396.3	904.7
5	637	1009.75	-372.75	-424.2	1061.2
6	986	1093.875	-107.875	-36.1	1022.1
7	1246	1174	72	64	1182
8	1712	1254.375	457.625	396.3	1315.7
9	867	1327.125	-460.125	-424.2	1291.2
10	1399	1347.875	51.125	-36.1	1435.1
11	1415	-	-	64	1351
12	1709	-	-	396.3	1312.7
	13573	-	61.75	0	13573

_{Расчеты представим в таблице (см. графу 3).}

y_t S _j

^{= yt − yt S} _j

^U _t ^{= y}_t

^{− S} _j

t

Сезонные колебания S_j найдем как

^{y − ~y}

t

(см. графу 4).

За 2 года найдено 8 показателей сезонности .Найдем средние показатели сезонности как среднее арифметическое из двух показателей для одноименных кварталов:

Кварталы	1	2	3	4	Сумма
S j	-416,438	-28,375	71,75	403,9375	30,875

Сумма показателей сезонности за год должно быть равно 0. Поэтому необходимо скорректировать данные показатели сезонности. Величина поправки в среднем на один квартал составит 30,875/4 = 7,71875. На эту величину необходимо уменьшить найденные средние показатели сезонности, т. е.

^Sˆ _j

^{= S} _j

^{− Δ} _{поправки.}

_{Скорректированные показатели сезонности составили (цифры округлены):}

Кварталы	Sˆ j
1	-424,2
2	-36,1
3	64
4	396,3
	0

Десезонализация уровней динамического ряда при аддитивной модели означает, что находим величины

^U _t ^{= y}_t

^{− Sˆ} _j

т. е. уровни ряда, в которых устранена сезонность (см. последнюю графу табл.).

Десезонализированный ряд (U_t) отражает тенденцию вместе со случайной составляющей. Чтобы выразить тенденцию, проведем аналитическое выравнивание по прямой, т. е. найдем линейный тренд:

^Uˆ _t

^{= a + bt}

Для оценки параметров применяется МНК. Система нормальных уровней составит:

_⎪^⎧_∑^U _t

_⎨

^{= na + b∑ t}

t

^{⎪⎩∑U t = a∑ t + b∑ t} 2

В примере

^{∑U t}

n = 12

^{= 13573}

^{∑ t = 78}

^{∑ t} 2 ^{= 650}

^{∑U t t = 95791,6}

Соответственно имеем систему уравнений:

_⎧13573 = 12a + 78b

_⎨

^{⎩95791,6 = 78a + 650b}

Решая ее, получим: a = 787,124; b = 52,917.

_{Уравнение линейного тренда составит:}

^Uˆ _t

^{= 787,124 + 52,917t}

Разложение уровней ряда по аддитивной модели осуществляется по формуле:

^y_t ^{= T + Sˆ} _j

^{+ ε t} _,

где y_t — фактически уровни динамического ряда;

Т — тренд уровней ряда, освобожденных от влияния сезонности, т. е.

^Uˆ t _;

^Sˆ _j

^ε _t

— скорректированные сезонные колебания;

— случайная составляющая, которая определяется как

y_t − S^ˆ _j

− T .

Значения Т получим, подставив в уравнение тренда: U^ˆ _t

значения t от 1 до 12 (см. табл. 3).

_{Таблица 3. Разложение уровней ряда по аддитивной модели.}

^{= 787,124 + 52,917t}

t	yt	T	Sˆ j	ε t
1	541	840	-424,2	125,2
2	776	893	-36,1	-80,9
3	984	945,9	64	-25,9
4	1301	998,8	396,3	-94,1
5	637	1051,7	-424,2	9,5
6	986	1104,6	-36,1	-82,5
7	1246	1157,5	64	24,5
8	1712	1210,5	396,3	105,2
9	867	1263,4	-424,2	27,8
10	1399	1316,3	-36,1	118,8
11	1415	1369,2	64	-18,2
12	1709	1422,1	396,3	-109,4
Итого	13573	13573	0	0

Для прогноза инвестиций на 2008 г. подставим в уравнение тренда значения t: 13; 14; 15 и 16 и найдем прогноз по тренду. Далее скорректируем его на сезонную компоненту, т. е. найдем тренд с учетом сезонности:

^y_s ^{= Uˆ} _{t = p}

^{+ S j} _;

^Ys1квартал ^Ys2 квартал ^Ys3квартал ^Ys4 квартал

= 787,124 + 52,917 * 13 – 424,2 = 1050,8;

= 787,124 + 52,917 * 14 – 36,1 = 1491,9;

= 787,124 + 52,917 * 15 + 64 = 1644,9;

= 787,124 + 52,917 * 16 + 396,3 = 2030,1.

Задача 15

_{Имеются данные о реализации товара (тыс. ед.)}

Годы	Кварталы
	I	II	III	IV
2005	25	17	20	37
2006	32	22	30	52
2007	34	25	32	57
2008	35	27	34	66

Требуется:

Построить график ряда и убедиться, что можно использовать

мультипликативную модель.

Провести выравнивание ряда методом четырехчленной скользящей средней и найти центрированные скользящие средние.

Найти коэффициент сезонности и скорректировать их для каждого квартала.

Провести десезонализацию уровней динамического ряда.

Провести аналитическое выравнивание десезонализационного ряда по прямой.

Дать в таблице разложение уровней ряда по мультипликативной модели.

Дать прогноз на I и II кварталы 2009 г.

Решение:

_{Представим график ряда динамики:}

70

₆₆

60

57

₅₂

50

Тысяч единиц

40

37

₃₂

^{30 30}

25

₂₂

^{20 20}

17

₃₄ ³⁵ ₃₄

³²

₂₇

²⁵

Ряд1

₁₀

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

_{Кварталы}

Как видим, амплитуда колебаний уровней по годам изменяется. Ряду присущи периодические колебания, которые могут быть описаны мультипликативной моделью.

_{Центрированные четырехчленные скользящие средние найдем по формуле:}

y

^~₁ ^{= (0,5 y}₁

^{+ y}₂

^{+ y}₃

^{+ y}₄

^{+ 0,5 y}₅

) / 4

последовательно меняя начало отсчета (см. таблицу). Ряд укорачивается на

4 уровня.

_{Коэффициенты сезонности определим по формуле:}

Sj t t

^{K = y / ~y}

t	yt	~	K Sj	Kˆ Sj	U t
1	25	-	-	0,999	25,03
2	17	-	-	0,69	24,64
3	20	25,625	0,781	0,845	23,67
4	37	27,125	1,364	1,466	25,24
5	32	29	1,103	0,999	32,03
6	22	32,125	0,685	0,69	31,88
7	30	34,25	0,876	0,845	35,5
8	52	34,875	1,491	1,466	35,4
9	34	35,5	0,958	0,999	34,03
10	25	36,375	0,687	0,69	36,23
11	32	37,125	0,862	0,845	37,87
12	57	37,5	1,52	1,466	38,88
13	35	38	0,921	0,999	35,04
14	27	39,375	0,686	0,69	39,13
15	34	-	-	0,845	40,24
16	66	-	-	1,466	45,02

_{(см. графу 4 таблицы).}

^y_t

Получаем 12 коэффициентов сезонности для трех лет. Из них находим средние величины для соответствующего квартала, используя среднюю арифметическую простую:

Кварталы	I	II	III	IV	Сумма
Средний коэффициент сезонности	0,994	0,686	0,840	1,458	3,978

Сумма средних коэффициентов сезонности должна быть равна 4. Поэтому скорректируем полученные коэффициенты, используя поправочный

S

_{коэффициент, т. е. применим формулу: K}^ˆ

^j

где К_{поправки} = 4/3,978 = 1,00553.

В результате получим:

^{= K S} _j

^{* K} поправки

Кварталы	I	II	III	IV	Сумма
Kˆ Sj	0,999	0,69	0,845	1,466	4

Проведем дсезонализацию уровней исходного ряда, т. е. найдем уровни ряда, исключив влияние сезонности:

^U _t ⁼

^y_t ^{/ Kˆ} _Sj

(см. последнюю графу таблицы)

Десезонализационные уровни ряда отражают влияния тенденции и случайности. Чтобы выявить их тенденцию, проведем аналитическое выравнивание, используя линейный тренд, т. е. найдем уравнение

^Uˆ _t

^{= a + bt.}

_{Для оценки параметров используем МНК. Система нормальных уравнений}

_⎧

_{составит: ⎨}

^{na + b∑ t = ∑U} _t

₂

_⎩^{a∑ t + b∑ t}

^{= ∑U} _t ^t

В примере

n = 16

^{∑ t = 136}

_∑ ^t 2 ^{= 1496}

_∑^U _t

^{= 539,9}

^{∑U t t = 5008,93} _.

В результате имеем систему уравнений:

16a + 136b = 539,9;

136a + 1496b = 5008,93.

_{Откуда имеем: a = 23,249; b = 1,235}

^Uˆ _t

^{= 23,249 + 1,235t}

т. е. независимо от сезонности реализация товара возрастает ежеквартально в среднем на 1235 единиц.

Чтобы дать разложение уровней по мультипликативой модели,

_{воспользуемся равенством:}

^{yt = T * Kˆ Sj * Et} _.

где T

^{= Uˆ} _t

— уровни ряда, отражающие тенденцию(найдем, подставляя в

уравнение линейного тренда значения t от 1 до 16);

_ˆ

S

_{K — скорректированные коэффициенты сезонности;}

^j

E_t — коэффициент, учитывающий случайную компоненту (для расчета используем соотношение

j

^{Et = yt / y s} _,

где y_s — тренд с учетом сезонности:

_{Иными словами имеем равенство:}

^y_s ^{= Uˆ}_t ^{⋅ Kˆ} _s ^).

^y_t ^{= Uˆ} _t ^{* Kˆ} _s ^{* E}_t

(см. табл. 4)

Таблица 4. Разложение уровней ряда по мультипликативной модели

t	yt	Uˆ t	Kˆ Sj	ys = Uˆ t * Kˆ s j	Et = yt / y s
1	25	24,48	0,999	24,46	1,023

2	17	25,72	0,69	17,75	0,958
3	20	26,95	0,845	22,78	0,878
4	37	28,19	1,466	41,32	0,895
5	32	29,42	0,999	29,39	1,089
6	22	30,66	0,69	21,15	1,040
7	30	31,89	0,845	26,95	1,113
8	52	33,13	1,466	48,56	1,071
9	34	34,36	0,999	34,33	0,990
10	25	35,60	0,69	24,56	1,018
11	32	36,83	0,845	31,12	1,028
12	57	38,07	1,466	55,80	1,021
13	35	39,30	0,999	39,26	0,891
14	27	4053	0,69	27,97	0,965
15	34	41,77	0,845	35,29	0,963
16	66	43,00	1,466	63,04	1,047

Данные последней графы показывают, что ошибки в 9 случаях не превышают 5%. Наибольшая ошибка 12% наблюдается для квартала III первого года. Средняя величина ошибок составит:

^{Et = ∑ Et / n = 0,999} _.

Прогноз на 2009 г. дадим по формуле:

^y _p ^{= Uˆ} _t

_{* K}^ˆ _.

s

^j

_{Для квартала I на 2009 г. прогноз составит:}

^{y p = (23,249 + 1,235 *17) * 0,999 = 44,2} _.

_{Для II квартала 2009 г. прогноз составит:}

^{y p = (23,249 + 1,235 *18) * 0,69 = 31,4} _.