Задача 8

_{По региону имеются данные о динамике городского жилищного фонда за}

1995–2006 Гг. (млн. М2 на конец года):

1995 г.	1996 г.	1997 г.	1998 г.	1999 г.	2000 г.	2001 г.	2002 г.	2003 г.	2004 г.	2005 г.	2006 г.
22	22,2	22,5	22,8	23	23,3	23,5	24	24,4	24,6	25	25,3

Требуется провести аналитическое выравнивание ряда, используя

линейный тренд. Сделать выводы.

Решение:

_{Чтобы найти уравнение линейного тренда, следует для уравнения вида}

y^ˆ= а + bt

^{решить систему нормальных уравнений: {Σy = na + bΣt ;}

{^{Σyt = aΣt + bΣt.}

где у — исходные данные о величине городского жилищного фонда; t —

нумерация лет от 1 до 12.

_{Составим вспомогательную таблицу:}

t	y	y t	t2	yˆ t
1	22	22	1	21,87
2	22,2	44,4	4	22,18
3	22,5	67,5	9	22,48
4	22,8	91,2	16	22,79
5	23	115	25	23,09
6	23,3	139,8	36	23,40
7	23,5	164,5	49	23,70
8	24	192	64	24,00
9	24,4	219,6	81	24,31
10	24,6	246	100	24,62
11	25	275	121	24,93
12	25,3	303,6	144	25,23
∑ 78	282,6	1880,6	650	282,6

Исходя из итоговой строки таблицы имеем:

_⎧282, 6 = 12а + 78b;

_⎨

^{⎩1880, 6 = 78a + 650b.}

Определитель системы составит:

_{12 78}

^{Δ =}

^{78 650}

= 12 * 650 − 78 * 78 = 1716;

_{Частный определитель для параметра a составит:}

Δa =

282,6

_1880,6

78

₆₅₀

= 282,6 * 650 − 78 *1880,6 = 37003,2;

_{Частный определитель для параметра b составит:}

₁₂

^{Δb =}

⁷⁸

282,6

_1880,6

= 12 *1880,6 − 78 * 282,6 = 524,4.

Соответственно имеем следующие оценки параметров:

_{a = Δ а/ Δ =37 003,2/1716 = 21,564;}

_{b = Δb / Δ =524,4/1716 = 0,306.}

_{Тогда уравнение тренда может быть записано как}

_уˆ _{= 21, 56 + 0, 31t .}

_{Подставив в него соответствующие значения t, получим теоретические}

значения

^уˆ_t

(смотри последнюю графу таблицы).

Параметр b = 0,31 млн м² показывает, что в среднем ежегодно городской жилищный фонд в регионе возрастал на 0,31 млн м². Исходя из этого можно предположить, что на конец 2007 г. жилищный фонд региона составлял 25,54 млн м².

Задача 9

Динамика ввода в действие жилых домов по региону характеризуется данными (тыс. м²):

1995 — 454;

1996 — 402;

1997 — 375;

1998 — 350;

1999 — 330;

2000 — 325;

2001 — 345;

2002 — 363;

2003 — 401;

2004 — 416;

2005 — 498;

2006 — 503;

2007 — 582;

2008 — 753.

Требуется провести аналитическое выравнивание, используя функцию параболы второй степени, и дать прогноз на 2009 г.

Решение:

Рассчитаем параметры уравнения:

t

^{yˆ = a + bt + ct 2 ,}

где у — исходные данные;

t — порядковый номер года.

Применяя метод наименьших квадратов, получим систему нормальных уравнений:

^⎧_∑ ^{y = na + b}_∑^{t + c}_∑^{t 2 ;}

_⎪

_⎪ yt = a t + b t 2 + c t 3 ;

_{⎨∑ ∑ ∑ ∑}

_⎪ yt 2 = a t 2 + b t 3 + c t 4 .

_{⎪∑ ∑ ∑ ∑}

^⎩

^{В данной системе ∑ у = 6097 ; n = 14, ∑ t = 105 ; ∑ t} 2 ^{=1015 ∑ t} 3 ^{=11 025;}

^{∑ t} 4 ^{= 127 687; ∑ yt = 50 093; ∑ yt} 2 ^{= 523 841. Тогда система составит:}

_⎧^{6097 = 14a + 105b + 1015c;}

_⎪

^{⎨50093 = 105a + 1015b + 11025c;}

_⎩

^{⎪523841 = 1015a + 11025b + 127687c.}

_{Решим ее методом Крамера. Определитель системы составит:}

14

^{Δ = 105}

₁₀₁₅

105

1015

₁₁₀₂₅

1015

11025

₁₂₇₆₈₇

= 9274720.

Частные определители по каждому из параметров составят:

Δa =

6097

50093

523841

₁₄

105

1015

11025

₆₀₉₇

1015

11025

127687

₁₀₁₅

= 4784277680;

^{Δb =}

105

1015

₁₄

50093

523841

₁₀₅

11025

127687

₆₀₉₇

^{= −602001946;}

^{Δc =}

105

₁₀₁₅

1015

₁₁₀₂₅

50093

₅₂₃₈₄₁

^{= 51998310.}

Соответственно имеем оценки параметров параболы второй степени:

^{а = Δ а/ Δ =515,841; b = Δ b/ Δ = –64,908;}

с = Δ с/ Δ =5,6065, т. е. уравнение тренда примет вид:

t

^{y = 515,841 − 64,908t + 5,6065t 2 .}

Прогноз на 2009 г. найдем, подставив в данное уравнение тренда,

следующее по порядку значение t, т. е. t = 15. В результате получим y₂₀₀₉ =

515,841 – 64,908 * 15 + 5,6065 * 15² = 803,7.

Задача 10

Используя условие задачи 9, найти уравнение тренда в виде параболы

^{второй степени, применяя обозначения лет так, чтобы ∑ t = 0. Сравнить}

полученные уравнения в задачах 9 и 10.

_{Решение:}

^{При нечетном n получается} _∑ ^{t = 0}

при обозначении центрального

(серединного) периода времени через 0. Так, при n = 5 даты обозначаются:

–2, –1, 0, 1, 2.

В нашем случае n = 14, т. е. имеем два серединных периода — это 7-й и 8-й годы. Поэтому за 0 принимается середина между этими годами. Тогда седьмой год обозначим как –0,5, а восьмой как 0,5. Далее все годы после восьмого обозначим как 1,5; 2,5; 3,5; 4,5; 5,5; 6,5. А все годы ранее

седьмого как –1,5; –2,5; –3,5; –5,5; –6,5. Такое обозначение дат

_{существенно упрощает расчеты параметров параболы второй степени.}

^{Так как} _∑ ^{t = 0}

^и _∑ ^t 3 ^{= 0 , то система нормальных уравнений составит:}

^{{∑ y = na + c∑t} 2 ^;

^{{∑ yt = b∑t} 2 ^;

^{{∑ yt} 2 ^{= a∑t} 2 ^{+ c∑t} 4 ^.

^{Используя новое обозначение дат (с нулем в середине, т. е.} ∑ ^{t = 0 ),}

получим:

_∑ ^t 2 ^{= 227,5 ;} _∑ ^{yt = 4365,5 ;}

_∑ ^yt 2 ^{= 115402,3 ;}

_∑ ^t 4 ^{= 6608,875}

Соответственно имеем систему нормальных уравнений:

_{⎧6097 = 14a + 227, 5c;}

_⎨

^{⎪4365, 5 = 227, 5b;}

_⎩

^{⎪115402, 3 = 227, 5a + 6608,875c.}

Из второго уравнения системы имеем оценку параметра b:

b = 4365,5/227,5 = 19,189.

Далее решаем систему уравнений:

_⎧6097 = 14a + 227,5c

_⎨

^{⎩115402,3 = 227,5a + 6608,875c}

Определитель этой системы составит:

^{Δ =} _{40 768.}

Соответственно частные определители по параметрам а и с окажутся:

^{Δa = 14 040 299;}

^{Δc = 228 564.}

^{Тогда параметры a и c окажутся:}

а =344,3951;

c = 5,6065.

_{Таким образом, уравнение тренда составит:}

yˆ_t

^{= 344,3951 + 19,189t + 5,6065t 2}

_{Сравним его с уравнением в примере 7, т. е.}

y^ˆ_t

^{= 515,841 − 64,908t + 5,6065t 2}

Как видим, не изменился только параметр с = 5,6065. С изменением обозначения дат численно изменились значения параметров a и b. Это не мешает делать прогноз на 2009 г. Для этого теперь в нашем уравнении следует подставить t = 7,5, т. е.

^yˆ 2009

^{= 344,3951 + 19,189 * 7,5 + 5,6065 * 7,52}

^{= 803,7} _.

Естественно, величина прогноза не изменилась. При обозначении времени (t) с нулем в середине можно интерпретировать все параметры уравнения тренда в виде параболы второй степени.

В нашем примере а = 344,3951 — это значение срединного периода, т. е. между седьмым и восьмым годом. Параметр b = 19,189 означает, что в среднем ежегодно ввод в действие жилых домов в регионе возрастал на

_{19,189 тыс. м}²_{. Параметр с = 5,6065 означает, что ежегодно скорость роста,}

т. е. абсолютный прирост, увеличивалась в среднем на 5,6065 тыс. м². По уравнению в задаче 7 интерпретируются только параметры а и с. Параметр с интерпретируется аналогично, а параметр а — как теоретический уровень для 1994 г., когда t = 0.