Задача 11

_{Имеются данные по предприятию о сбросе загрязненных сточных вод (тыс.}

_м³_):

Годы	1992		1993		1994	1995		1996		1997		1998	1999		2000		2001
у	27		25		22	21,2		20,8		20		21	20,6		20		19
Годы		2002		2003			2004		2005		2006			2007		2008

у

19,5

18,9

18

17,2

16,3

16,5

15,3

Требуется:

Провести аналитическое выравнивание, используя экспоненциальный

тренд.

Сделать выводы и дать прогноз на 2009 г.

_{Решение:}

_{Построим уравнение тренда вида:}

yˆ_t

^{= aebt}

_{, где у — исходные данные; t —}

нумерация дат; е — основание натурального логарифма. Для применения МНК приведем искомую функцию к линейному виду путем логарифмирования: lny = lna + bt. Система нормальных уравнений

_{составит:} ^{∑ ln y = n ln a + b∑ t} _.

^{∑ t ln y = ln a∑ t + b∑ t} 2 _.

_{Для расчета составим таблицу:}

Годы	у	lny	t	t2	tlny	lny(teor)	Y teor
1992	27	3,296	1	1	3,296	3,201	24,570
1993	2	3,212	2	4	6,438	3,174	23,900
1994	22	3,091	3	9	9,273	3,146	23,249
1995	21,2	3,054	4	16	12,216	3,118	22,615
1996	20,8	3,035	5	25	15,175	3,091	21,998
1997	20	2,996	6	36	17,974	3,064	21,400
1998	21	3,045	7	49	21,311	3,035	20,815
1999	20,6	3,026	8	64	24,202	3,008	20,249
2000	20	2,996	9	81	26,922	2,982	19,695
2001	19	2,944	10	100	29,444	2,953	19,160
2002	19,5	2,970	11	121	32,675	2,925	18,637
2003	18,9	2,939	12	144	35,270	2,898	18,130
2004	18	2,890	13	169	37,575	2,870	17,635
2005	17,2	2,844	14	196	39,828	2,843	17,154
2006	16,3	2,791	15	225	41,868	2,815	16,687
2007	16,5	2,803	16	256	44,854	2,787	16,232
2008	15,3	2,728	17	289	46,374	2,760	15,790
Итого	-	50,668	153	1785	444,735	-	-

Получим следующую систему нормальных уравнений:

_⎧50,668 = 17 ln a + 153b

_⎨

^{⎩444,735 = 153 ln a + 1785b}

Решая ее получим:

lna = 3,2292; b=-0,0276

и уравнение тренда (линеаризованное): lny = 3,2292 – 0,0276t.

^{Потенцируя, получаем окончательный вид уравнения: a = e3, 2292}

_−0,0276t

= 25,258

^yˆ_t

^{= 25,258e} _.

В этом уравнении параметр а показывает теоретическое значение величины сброса загрязненных сточных вод за 1991 г., т. е. когда t = 0.

Величина

_e^−0,0276

показывает средний ежегодный коэффициент снижения

сбросов. В нашем случае он составит:

_e^−0,0276

_{= 0,9727 , т. е. ежегодно}

сброс загрязненных сточных вод сокращался в среднем на 2,73%. Прогноз на 2009 г. получим, подставив в уравнение тренда t = 18, т. е. lny = 3,2292 – 0,0276 * 18 = 2,73175 и потенцируя имеем

^y₂₀₀₉

^{= e2,73175}

^{= 15,36}

Можно дать прогноз и исходя из уравнения:

_−0,0276t

^yˆ_t

^{= 25,258e} _,

2009

^{y) = 25.258e}

^{−0,0276*18 = 15, 38 тыс. м2}