§1. Дедукция и индукция как способы познания

Важнейшей задачей логики является исследование различных познавательных процедур, посредством которых из уже имеющихся у нас сведений можно получать новую информацию. Одна из таких процедур – дедукция (от лат. «deductio» – «выведение»).

Р ассуждение называется дедуктивным, если и только если совокупная информация, выраженная в его посылках (A₁, …, A_n), содержит в качестве своей части (иногда в неявной форме) информацию, выраженную в заключении (В). Дедукция позволяет извлечь эту информацию и представить ее в явной форме. Символически структура дедуктивного рассуждения записывается так:

A₁, …, A_n ⁼ В

Но довольно часто применяются и другие способы рассуждения, приводящие к получению принципиально новой информации. При этом мы используем имеющиеся в посылках сведения как «подсказку», «намек», наводящий на мысль о возможности принятия некоторого заключения.

Р ассуждение в этом случае строится следующим образом: если информация, содержащаяся в посылках A₁, …, A_n верна, то правдоподобно было бы считать, что верно и В.

A₁, …, A_n ^ В

Такие рассуждения получили название индуктивных (от лат. «inductio» – «наведение»), или правдоподобных.

В дедуктивных рассуждениях посылки полностью обосновывают заключение, поскольку последнее логически следуют из них. В правдоподобных рассуждениях посылки лишь подтверждают заключение, логического следования здесь нет.

К числу правдоподобных рассуждений относятся собственно обобщающая индукция, методы установления причинных зависимостей (исключающая индукция) и аналогия.

§2. Математическая вероятность как мера правдоподобности

Степень правдоподобности вывода в некоторых логических теориях (например, в КЛВ) можно измерить достаточно точно. Для этого применяют теорию вероятностей. Существует два критерия правдоподобности умозаключений:

1 ) Критерий высокой вероятности: умозаключение A₁, …, A_n ^ В считается правдоподобным, т.е. вероятность В при условии A₁ & … & A_n больше ½.

A₁, …, A_n ^ В _df Р(B/A₁ & … & A_n ) > ½

2) Критерий позитивной релевантности: умозаключение A₁, …, A_n ^ В считается правдоподобным, т.е. вероятность В при условии A₁ & … & A_n больше, чем вероятность формулы В самой по себе.

A₁, …, A_n ^ В _df Р(B/A₁ & … & A_n ) > Р(В)

В КЛВ вероятность высказываний высчитывается по формуле: Р(А) = m/n, где m – число строк таблицы, в которых высказывание А принимает значение «1», n – общее число строк в таблице. Условная вероятность (вероятность В при условии А) определяется по формуле: Р(В/А) = Р(А&В)/Р(А).

Рассмотрим, к примеру, такое умозаключение:

Если в этом преступлении виновен Иванов, то Петров невиновен.

В преступлении виновен только один из них.

Обозначим виновность Иванова переменной р, а Петрова – q. Построив совмещенную таблицу истинности, получаем следующий результат:

p	q	q	р  q	pq
1	1	0	0	0
1	0	1	1	1
1	1	0	1	1
1	0	1	1	0

Чему равняется вероятность заключения самого по себе? Из четырех строк таблицы формула pq принимает значение «1» в двух. Значит, m = 2, n = 4. Вероятность высказывания «Виновен либо Петров, либо Иванов» определяется по формуле: Р(pq) = 2/4, то есть 1/2.

Чему равняется вероятность pq при условии истинности pq? По таблице видно, что высказывание p  q принимает значение «1» в трех строчках из четырех. Значит, его вероятность равняется: Р(pq) = 3/4. А вместе оба высказывания – p  q и pq – оказываются истинными лишь в двух строчках из четырех, то есть их совместная вероятность равняется: Р[(pq)&(pq)] = 2/4. Поделив 2/4 на 3/4, получаем 2/3, то есть данное умозаключение достаточно правдоподобно.

У пражнение 1. Определите степень правдоподобности умозаключений:

а) Петров никогда не ходит «на дело» без Иванова. Следовательно, они оба виновны в этом преступлении.

б) Если в этом преступлении виновны Иванов и Петров, то невиновен Сидоров. Следовательно, если виновен Сидоров, то невиновны Иванов и Петров.