- •Часть 1
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Источники и причины погрешностей математической модели
- •Погрешность математической модели
- •Погрешность исходных данных
- •Погрешность численного метода
- •Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах
- •Погрешности округления чисел в эвм
- •Погрешность результатов вычисления арифметических операций
- •“Потеря порядка” и “переполнение” при проведении вычислений на эвм
- •Машинная реализация вычислений
- •Контрольные вопросы и задания
- •2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Прямые методы решения
- •Метод Гаусса
- •Определение числа операций алгоритма метода Гаусса
- •Вычисление определителя матрицы
- •Построение обратной матрицы
- •Метод квадратного корня
- •Определение числа операций алгоритма метода квадратного корня
- •Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений
- •Итерационные методы решения
- •Метод Якоби1
- •Метод Зейделя1
- •Сходимость итерационных методов
- •Скорость сходимости
- •Полиномы Чебышёва1
- •Итерационный метод с чебышёвским набором параметров
- •Неявный метод с чебышёвским набором параметров
- •Метод минимальных невязок
- •Метод минимальных поправок
- •Метод скорейшего спуска
- •Неявный метод скорейшего спуска
- •Контрольные вопросы и задания
- •3.НелинейныЕ уравнения
- •Методы вычисления корней нелинейного уравнения1 Метод половинного деления2
- •Метод простых итераций
- •Метод Ньютона2
- •Модификации метода Ньютона
- •Системы нелинейных уравнений
- •Метод простых итераций
- •Метод релаксации
- •Метод Ньютона
- •Нелинейный вариант метода Якоби
- •Нелинейный вариант метода Зейделя
- •Контрольные вопросы и задания
- •Интерполяция степенными функциями
- •Интерполяционный многочлен Ньютона
- •Интерполяционная формула Лагранжа
- •Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа)
- •Сходимость интерполяционного процесса
- •Интерполяционный многочлен Эрмита1
- •Интерполяция сплайнами
- •Построение кубического сплайна
- •Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами
- •Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы и задания
- •5. Алгебраическая проблема собственных значений
- •Устойчивость собственных значений и векторов
- •Определение собственных значений и векторов Метод интерполяции
- •Трехдиагональные матрицы
- •Поиск собственных векторов
- •Частичная проблема собственных значений
- •Метод линеаризации
- •Степенной метод
- •Метод обратных итераций
- •Контрольные вопросы и задания
- •6.Численное дифференцирование Конечно-разностная аппроксимация
- •Применение интерполяционных формул
- •Контрольные вопросы и задания
- •7.Численное интегрирование
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона1
- •Формула Эйлера1
- •Оценка погрешности методом Рунге2
Итерационные методы решения
Итерационными называются методы, при которых решение системы уравнений (2.1) получается как предел некоторой последовательности.
Вновь рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений с отличным от нуля определителем det(A), которую представим в компонентной форме
.
Преобразуем эту систему к виду
,
.
Метод Якоби1
Последнее выражение представим в виде итерационной схемы
, (2.9)
где n - номер итерации. Для получения решения используется следующий алгоритм. В качестве нулевого приближения выбираются какие-либо (зачастую произвольные) значения искомых величин, которые подставляются в правую часть выражения (2.9), что позволяет определить первое приближение неизвестных . Затем полученный результат вновь подставляется в правую часть выражения (2.9) и вычисляются , и так далее. Вычислительный процесс заканчивается, например, когда выполняется условие
,
где > 0 - заданная точность вычисления результата.
Пример 2.3. Рассмотрим систему алгебраических уравнений
Точное решение этой системы x = 0,5, y=1,5 .
Из первого уравнения выразим первую неизвестную x
,
а из второго - неизвестную y,
.
Представим полученные выражения в виде итерационной схемы
В качестве начального приближения примем . Результаты расчетов сведены в табл. 2.1. На рис. 2.1 графически показан ход выполнения итерационного процесса метода Якоби.
Таблица 2.1
Результаты выполнения итерационной процедуры метода Якоби
-
n
x(n)
y(n)
0
0
0
1
1,25
1,8
2
0,35
1,05
3
0,725
1,59
4
0,255
1,365
5
0,5675
1,527
6
0,4865
1,4595
7
0,5203
1,5081
8
0,4959
1,4879
9
0,5061
1,5024
10
0,4988
1,4964
11
0,5018
1,5007
12
0,4996
1,4989
13
0,5005
1,5002
Представим матрицу коэффициентов А в виде суммы , где - нижняя треугольная матрица с нулевой диагональю; - верхняя треугольная матрица с нулевой диагональю; - диагональная матрица. Теперь систему уравнений Ax = f можно представить в виде:
и метод Якоби будет выглядеть следующим образом:
.
Учитывая, что , последнее выражение можно также представить в форме
. (2.10)
Y
3
4x + 2y = 5
2
1
3x + 5y = 9
0 X
0 1 2 3
Рис. 2.1. Схема выполнения метода Якоби